Mavzu: Gruppa. Halqa. Maydon reja: kirish. I bob. Algebra va algebraik amallar

12-Misol. Ko‘paytirish amalining ayirish amaliga nisbatan distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni
(A\B)ÇC=(AÇC)\(BÇC) (1)
Yechish: xÎ (A\B) Ç C ixtiyoriy element bo‘lsin, bundan xÎ (A\B) va xÎC. xÎ A\B bo‘lgani uchun ayirish amalining ta’rifiga ko‘ra xÎ A va xÏ B. Shunday qilib xÎ A, xÎ C demak, xÎ AÇC, ammo xÏ BÇC. Oxirgi munosabatlardan xÎ (AÇC)\(BÇC), demak
(A\B)ÇCÌ (AÇC)\(BÇC). (2)
Endi
(A\B)ÇC É (AÇC)\(BÇC) (3)
ekanligini ko‘rsatamiz. yÎ (AÇC) \ (BÇC) ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda yÎAÇC va yÏ BÇC bundan yÎ A, yÎ C va yÏB, demak, yÎ (A\B)ÇC shu bilan (3) munosabatni o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. (2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikning to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi.
13-misol. AÇ(B\C)=(AÇB)\C munosabatni Eyler-Venn diagrammalari yordamida isbotlang.
Berilgan munosabatning chap va o‘ng tomonida turgan to‘plamlarni Eyler-Venn diagrammalardagi tasviri chizmada berilgan.
1.2-§. Algebraik amallar va ularning turlari
Algebraik strukturalarini sinflarga ajratish algebraik amallar va ularning qaysilari strukturada aniqlanganligiga qarab bajariladi. Shuning uchun algebraik amallarni ko‘rib chiqamiz.
5-ta’rif. A ¹ Æ ixtiyoriy tabiatli elementning to‘plami, n manfiy bo‘lmagan butun son bo‘lsin. U holda ixtiyoriy : Aⁿ®A akslantirish A to‘plamda aniqlangan n o‘rinli yoki n-ar algebraik amal, n sonni esa algebraik amalning rangi deyiladi.
A to‘plamda aniqlangan nol o‘rinli amal deb, A to‘plamning qandaydir elementini tayinlashni (ajratishni) aytiladi.
6-ta’rif. Agar : Aⁿ®A akslantirishning aniqlanish sohasi Aⁿ ning to‘g‘ri qismidan iborat bo‘lsa, u holda ni A to‘plamda aniqlangan qisman algebraik amal deyiladi.
Rangi 0,1 va 2 bo‘lgan algebraik amallarni mos ravishda nolar, unar va binar algebraik amallar deyiladi. Unar amalni operator ham deb ataladi.
Bundan buyon n-ar algebraik amal deyish o‘rniga n-ar amal yoki amal degan terminlarni ishlatishga kelishamiz. - A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy amal bo‘lsin. Agar : Aⁿ®A akslantirishda (a,b)Î A² elementga cÎA mos keltirilgan bo‘lsa, u holda ((a,b))=c yoki (a,b)=c ko‘rinishda yozishning o‘rniga a b=c yoki (a,b) ®c yoki a ê b=c yoki a^b=c yoki a b=c yoki a*b=c,... ko‘rinishda belgilash qabul qilingan. Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallarini mos ravishda a+b=c, a-b=c, ab=c va a:b=c ko‘rinishda belgilanadi.
14-misol. M - ixtiyoriy tabiatli elementlarning qandaydir bo‘sh bo‘lmagan to‘plami, A={B:BÌM} bo‘lsin. U holda :A®A akslantirishni "(BÎA) (b)=M\b ko‘rinishda aniqlasak, A to‘plamda aniqlangan unar amal (operator) dan iborat bo‘ladi.
15-misol. A 14- misoldagi to‘plam bo‘lsin. Agar :A²®A akslantirish
"( B₁,B₂Î A) (B₁,B₂)= B₁ È B₂, (B₁,B₂)= B₁ÇB₂
ko‘rinishda berilsa, har ikkala holda ham -A to‘plamda aniqlangan binar amaldan iborat bo‘ladi.
16-misol. N natural sonlar to‘plami, "(nÎ N) tayinlangan natural son bo‘lsin.
U holda :A²®A akslantirish "(m₁,m₂,...,m_nÎ N) (m₁,m₂,...,m_n)=(m₁,m₂,...,m_n) ko‘rinishda berilsa, - N to‘plamda aniqlangan n-ar amal bo‘ladi. Bu joyda (m₁,m₂,...,m_n),- m₁,m₂,...,m_n natural sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi.
17-misol. Bo‘lish amali butun sonlar sistemasida aniqlangan qisman amaldan iborat.
Agar A to‘plamda binar amal aniqlangan bo‘lsa, uni algebra deyiladi. Va (A, ) ko‘rinishda belgilanadi.
7- ta’rif. va * lar A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy amallar bo‘lsin:
a) "(a,bÎ B) a b=b a bo‘lsa, u holda amal kommutativ (o‘rin almashtirish) xossasiga;
b) "(a,b,cÎ A) (a b) c=a (b c) bo‘lsa, u holda - assotsiativ (gruppalash) xossasiga;
v) "(a,b,cÎ A) (a b)*c=(a*c) (b*c) va c*(a b)=(c*a) (c*b) bo‘lsa, mos ravishda * amal amalga nisbatan o‘ng va chap distributiv (o‘ng va chap taqsimot) xossasiga ega deyiladi. Agarda * amal kommutativ bo‘lsa, oxirgida "o‘ng" va "chap" so‘zlari tushirilib qoldiriladi.
18-misol. Sonlarni odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari kommutativ, assotsiativ va ko‘paytirish amali qo‘shish amaliga nisbatan distributiv, lekin qo‘shish amali ko‘paytirish amaliga nisbatan distributiv emas. Chunki
a+bc=(a+b)(a+c)
tenglik hamma vaqt ham o‘rinli bo‘lmaydi.
19-misol. Sonlarni ayirish amali kommutativ ham, assotsiativ ham emas.
20-misol. Akslantirishlarning kompozitsiyasi assotsiativ amal bo‘lib, u kommutativ emas (tekshirib ko‘ring).
8-ta’rif. A to‘plamda amal aniqlangan bo‘lsin. Agar $(e_o‘,e_chÎA) "(aÎA) a e_o‘=a yoki e_ch a=a bo‘lsa, u holda e_o‘ va e_ch elementlarini amalga nisbatan mos ravishda o‘ng va chap neytral element deyiladi.
21-misol. Butun sonlar sistemasida 0 qo‘shish amaliga nisbatan, 1 ko‘paytirish amaliga nisbatan ham o‘ng ham chap neytral elementlardir.
9- ta’rif. Aytaylik A¹Æ, - A to‘plamda aniqlangan amal, e amalga nisbatan A to‘plamning neytral elementi bo‘lsin.
Agar "(aÎ A)$( a_o‘, a_chÎ A) a a_o‘=e, a_ch a=e bo‘lsa, u holda a_o‘, a_ch larni mos ravishda amalga nisbatan a ga o‘ng va chap simmetrik elementlar deyiladi. Agar a a'= a' a=e bo‘lsa, a' ni amalga nisbatan a ga (o‘z navbatida a ni a' ga) simmetrik element deyiladi.
10-ta’rif. Aytaylik A to‘plamda aniqlangan amal va BÌA bo‘lsin. Agar "(a,bÎ B)Þ a bÎ B bo‘lsa, B to‘plamni amalga nisbatan yopiq deyiladi.
Agar (A, ) algebrada e neytral element aniqlangan bo‘lsa (A, ,e)ni algebraik sistema deyiladi.