Mavzu: Integral tenglamalarni taqribiy hisoblash

Mavzu: Integral tenglamalarni taqribiy hisoblash

REJA:

1. 
   Integral tenglamalarni taqribiy hisoblash
   
2. 
   Aniq integralni Monte-Karlo usulida hisoblash
   
3. 
   Foydalanilgan adabiyotlar
   

1. Kvadratur formulalar. Karrali integral

Kundalik xayotimizda uchraydigan ko`p muxandislik masalalarini yechishda aniq integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi. Faraz qilaylik, integralni hisoblash talab etilsin. Bu erda f(x) - [a; b] kesmada berilgan uzluksiz funksiya. Bu integralni hisoblashda quyidagi formula (Nyuton—Leybnits formulasi) qo`llaniladi:

bu erda F(x) – boshlangich funksiya. Agar boshlangich funktsiya F(x) ni elementar funktsiyalar orqali ifodalab bo`lmasa yoki integral ostidagi funktsiya f(x) jadval ko`rinishida berilsa, u xolda yuqoridagi formuladan foydalanish mumkin emas. Bu xolda aniq integralni taqribiy formulalar orqali hisoblashga to`g’ri keladi. Bunday formulalarga kvadratur formulalar deyiladi.
Faraz qilaylik, shu sinf funksiyalari uchun integralning qiymatni 0,01 dan ortmaydigan aniqlik bilan hisoblash kerak bo’lsin. U holda kubatur formulaning tugunlari N<0,01 tengsizlikni qanoatlantirishi kerak, ya’ni N>100n bo’lishi kerak. Odatda ko’p o’lchovchi funksiyaning har bir qiymatini hisoblash ko’p mehnat talab qiladi, shuning uchun ham hatto n = 6 bo’lganda bunday integralni hisoblash mumkin bo’lmaydi.
Bunday holda, qat`iy yechimni topishdan voz kechib, buning o’rniga ma’lum darajada ishonch bilan bo’lsada, xatoni baholashning boshqa metodlarini qidirish yo’liga o’tish kerak. Bunday metod statistik sinov metodi yoki boshqacha aytganda, Monte-Karlo metodidir.
Ta’rif. Agar X miqdor u yoki bu qiymatlarni biror tasodifiy hodisaning ro’y berishi yoki ro’y bermasligi bilan bog’liq holda qabul qilsa, u holda X tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdor X taqsimot qonuni Р(Х < х) = F(х) bilan aniqlanadi, bu yerda X - ixtiyoriy haqiqiy son va F(x) - taqsimot funksiyasi. Tasodifiy miqdorning qiymatlari tasodifiy sonlar deyiladi.
Agar tasodifiy miqdor X ning qiymatlari 0,1 oraliqda yotsa va qiymatlarining ixtiyoriy [0,1] oraliqda yotish ehtimollari ga teng bo’lsa, X bu oraliqda tekis taqsimlangan deyiladi.
Tasodifiy sonlarni hosil qilish uchun tasodifiy fizik jarayonlar masalan, o’yin soqqasini tashlash, ruletkani aylantirish, Geyger schyotchigidagi yonish va h.k. natijalaridan foydalanish mumkin. Hozirgi paytda tasodifiy sonlarning tayyor jadvallari ham mavjuddir .
Faraz qilaylik, biror usul bilan [0,1] oraliqda bir-biriga bog’liq bo’lmagan va tekis taqsimlangan tasodifiy sonlar ketma-ketligini hosil qilgan bo’laylik:

Koordinatalari shu sonlardan iborat bo’lgan birlik kubning

nuqtalarini N ta o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy nuqtalar deb qarashimiz mumkin.
50-yillardan boshlab hisoblash matematikasida, shu jumladan karrali integrallarni hisoblashlarda, Monte-Karlo metodi qo’llanila boshlandi.
Biz hozir shu metodning ikki variantini qisqacha ko’rib chiqamiz.