Mavzu: tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi, dispersiyasi va xosslari

3-misol. oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning dispersiyasi (10) formulaga asosan topiladi:

4-misol. parametrli normal taqsimotga ega bo gan tasodifiy miqdorning dispersiyasini topamiz:

Bu integralda almashtirish bajarib, quyidagini hosil qilamiz:

Hosil bo'lgan integralni deb olib, bo'laklab integrallaymiz:

Demak, parametrli normal qonun bo 'yicha taqsimlangan tasodifiy miqgdorning dispersiyasi uning ikkinchi parametriga teng ekan.
5-misol. -parametrli gamma taqsimotning dispersiyasini hisoblaymiz. ekanligini hisobga olib, dispersiyaning 1 . xossasidan foydalanamiz:

Endi dispersiyaning muhim bogan xossalarini keltiramiz.
D1. faqat va faqat bo'lgan holda, bu yerda const ( dan bog 'liq emas).
Birinchi keltirilgan xossa is ot talab etmaydi, chunki

Agar bo lsa,

Demak,

Agar bo lsa,

yoki (matematik kutilmaning E4 xossasiga qaralsin).
D2. Agar va o'zgarmas bo'lsa,

Bu xossa ta'rifidan kelib chiqadi.
D3. Agar va tasodifiy miqdorlar bog'liqsiz bo lsa,

Haqiqatan ham,

Keltirilgan hisoblashlardan ko'rinadiki, dispersiyaning additivlik xossasi (D3) faqat va faqat & va lar bog'liqsiz bo'lgan holda bajarilib qolmasdan, umumiyroq

tenglik bajariladigan hollarda ham o'rinli bo'lar ekan.

4-§. Kovariatsiya. Korrelatsiya koeffitsiyenti
Ixtiyoriy va tasodifiy miqdorlar orasida funksional (deterministik) bog 'langanligi, funksional bo'lmagan bog'liqlik, yoki ular bog 'liqsiz bo 'lishi mumkin. Quyida aniqlangan ikkita tasodifiy miqdorlar orasidagi korrelatsiya koeffitsiyenti yordamida bu tasodifiy miqdorlar orasidagi bog' liqlik darajasi o'rganiladi.
Ushbu paragraf davomida o'rganilayotgan tasodifiy miqdorlar uchun nolga teng bo'lmagan dispersiyalar mavjudligi talab etiladi.
Agar tasodifiy miqdor uchun bo 'lsa, uni standart deb hisoblaymiz. Ixtiyoriy tasodifiy miqdorni chiziqli almashtirish yordamida standart variantga keltirish mumkin. Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun

tasodifiy miqdor standart variant bo 'ladi.
Ta'rif. Tasodifiy miqdorlar va orasidagi korrelatsiya koeffitsiyenti deb


Keltirilgan tengliklardan va tasodifiy miqdorlarning bog'liqsizligi kelib chiqadi.
3. Agar bo 'lsa, bu tasodifiy miqdorlar chiziqli bog'liq, ya'ni shunday va sonlar topiladiki,

Isbot. Faraz qilaylik bo . Agar bo’lsa,

yuqorida keltirilgan disspersiyaning D1 xossasiga asosan (1) tenglik zgarmas son bo 'lgan holdagina bajariladi, xolos.
Agar bo'lsa,

va oldingidek (2) tenglik

bo'Igan holdagina bajariladi, xolos.
Agar bo'lsa, va tasodifiy miqdorlar musbat korrelatsiyalangan, bo 'lsa, manfiy korrelatsiyalangan deyiladi.
Izoh. Oson ko'rish mumkinki, agar va tasodifiy miqdorlar chiziqli bog'liq bo 'lsa, ular orasidagi korrelatsiya koeffitsyienti bo'ladi. Haqiqatan ham, tenglik bajarilsa, va belgilashlarni kiritib,

tenglikni hosil qilamiz.
Aytib o'tilgandan quyidagi xulosaga kelamiz: tasodifiy miqdorlar orasida chiziqli bog'liqlik mavjud bo'lishi uchun, ular orasidagi korrelatsiya koeffitsiyenti ga yoki ga teng bo 'lishi yetarli va zaruriy shart ekan.
1-Misol. Signal uzatadigan qurilmani ko'ramiz. Tasodifiy miqdor uzatiladigan signal miqdori bo'lsin. Har xil to'sqinchiliklar oqibatida signal qabul qilinadi. (bu yerda signal kuchaytirish koeffitsienti, "shovqin" miqdori). Tasodifiy miqdorlar va bog'liqsiz va

deb hisoblansin. Bu miqdorlar orasidagi korrelatsiya koeffitsiyenti

Agar kuchaytirgich ga nisbatan katta son bo 'lsa, koeffisiyent nolga yaqin bo'ladi va deyarli ga bog'liq bo'lmaydi. Agar kuchaytirgich ga nisbatan kichik son bo 'lsa, koeffitsient l ga yaqin son bo 'lib, qabul qilingan signal bo'yicha, ni tiklash mumkin.