Mavzu: tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi, dispersiyasi va xosslari

2-§. Matematik kutilma xossalari va misollar.

Endi matematik kutilmaning xossalarini keltiramiz, ular asosan integralning quyidagi xossalari bilan bir xil bo 'ladi.

E1. Agar va lar o'zgarmas sonlar bo 'lsa,

E2. , agar va mavjud bo 'lsa.
E3. Agar bo'lsa, tengsizlik har doim o'rinli.
E4. Agar bo 'lib, bo ‘lsa, . Haqiqatan ham, Chebishev tengsizligiga asosan

E5. hodisaning ehtimolligini matematik kutilma orqali

tenglik bilan ifoda etish mumkin. Bu yerda hodisaning indikatori agar aks holda).
Endi bir nechta misollar keltiramiz.
Misol 1. Bernulli sxemasi bilan bog'liq matematik kutilmalar. Agar Bernulli taqsimotiga ega bo'lsa, ya'ni

bo 'lsa, u holda

Endi Bernulli sxemasida to birinchi marta "yutuq" (1) ro'y berguncha o'tkaziladigan tajribalar ketma-ketligini ko'ramiz. Boshqacha aytganda bilan bir xil taqsimlangan , bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar ketmaketligini

momentga qadar o'rganamiz. Bu tasodifiy miqdor ning taqsimoti

bo ‘ladi. Demak, - geometrik taqsimotga ega bo ‘lar ekan va uning uchun

Agar bo 'lsa, Endi bo 'lganda, quyidagi tasodifiy miqdorni aniqlaymiz:

va bu tasodifiy miqdor ketma-ketlikni, "to'siqqa" yetgan vaqti bo ‘ladi. Uning taqsimoti

Bu yerda ehtimollik binomial taqsimotni tashkil etgani sababli,

bu tenglikdagi yig‘indi

funksiyaning nuqtadagi -tartibli hosilasiga teng, ya'ni

Demak,

Misol 2. Tasodifiy miqdor parametrlari bo'lgan normal taqsimotga ega bo'lsin. Bu holda,

Shunday qilib, parametrlari bo'lgan normal taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi ekan.
Misol 3. Agar tasodifiy miqdor parametri bo'lgan Puasson taqsimotiga ega bo'lsa, uning o'rta qiymati (matematik kutilmasi) bo 'ladi. Haqiqatan ham,

Misol 4. Agar tasodifiy miqdor oraliqda tekis taqsimlangan bo 'lsa,

Yuqorida keltirilgan matematik kutilmaning E1 hossasiga asosan da tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning o'rta qiymati

Misol 5. Tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi

bo'lgan Koshi taqsimotiga ega bo‘lsin. Bu holda

Demak, bu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi mavjud bo'lmas ekan.