Mavzu: uyushiq bólakli gaplarni òrgatishda didaktik òyinlardan foydalanish yòllari i-bob. Boshlang'ich maktabda ulushlar va kasrlarni o'rganishning nazariy jihatlari

Aktsiyalarni va kasrlarni taqqoslash.
Aktsiyalar bir butun bo'lingan teng qismlardir.

Va endi biz to'rtburchakning har bir qismini yarmiga ajratamiz. Faqat 10 ta aktsiyani oling

Aktsiyalar kattalashganini va har bir ulush kichrayganini ko'rish oson. Bundan kelib chiqadiki, butunning qancha qismlari ko'p bo'lsa, har bir qism shunchalik kichik bo'ladi . Bu degani:

butun 5 ta teng qismga bo'linadi va ikkinchi kasrning maxraji butunning 10 ta teng qismga bo'linganligini ko'rsatadi. Esda tutingki, qancha ko'p aktsiya bo'lsa, har bir ulush shunchalik kichik bo'ladi.

Shunga asoslanib, biz xulosa qilishimiz mumkin: bir xil hisoblagichlarga ega bo'lgan ikkita kasrdan kichikroq maxrajli kasr kattaroqdir.

kasrlarning sanoqchilari bir xil, 3 ga teng;

Keling, buni rasmda ko'rsatamiz.

• bu kasrlarning maxrajlari bir xil bo‘lib, butunning 9 ta teng qismga bo‘linishini ko‘rsatadi;

•

•

• butunning 4 qismi butunning 7 qismidan kam bo'ladi;

•

Keling, buni rasmda ko'rsatamiz.

Shunga asoslanib, xulosa qilishimiz mumkin: bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasrning soni kattaroq bo'lgan qismi kattaroqdir.

2.2 Kasr va kasrlarga doir masalalar ustida ishlash metodikasi

Keling, kasr muammolari haqida bir oz tarixiy ma'lumotdan boshlaylik. Bu vazifalar bizgacha yetib kelgan yozma manbalarning eng qadimiysidir; oddiy kasrlar uchun belgi ixtiro qilinmaguncha, ular bilan ishlash qoidalari ishlab chiqilgunga qadar ularning yechimi juda qiyin masala edi. Misol uchun, qadimgi Misrda ierogliflar faqat soni 1 ga teng bo'lgan kasrlar uchun mavjud edi. Faqatgina istisno bu kasr edi. 2/3, buning uchun tegishli belgi bor edi. Ahmes papirusining topshiriqlaridan birining matnida biz " chorva mollarining uchdan ikki qismi " iborasini uchratishimiz bejiz emas. (Qarang: № 162) - podaning bu qismini kasr sifatida ifodalang 2/9 Misrliklar hali qila olmadilar. Ahmesning o'sha papirusida vazifa bor " 7 ta nonni 10 kishiga bo'lish " , zamonaviy yozuvda javobni quyidagicha ifodalash mumkin: 2/3 + 1/30. 172-masalaga o'xshash murakkabroq kasr masalalarini yechish misrliklar uchun ancha qiyin masala edi.

Ko'p o'tmay, Ananiya Shirakatsi (Armaniston, 7-asr) javobni muammolardan birida: kasrni ifodalovchi 1/41/61/121/22 ko'rinishida yozdi. 6/11, ko'rsatilgan kasrlarni qo'shish orqali olingan.
Shunday qilib, alikvot kasrlar (numeratori 1 bo'lgan) uzoq vaqt davomida odam qandaydir tarzda ishlashni biladigan yagona kasrlar edi va ixtiyoriy kasrlar bilan ishlash qoidalari ishlab chiqilgan. " nisbatan yaqinda " . Bu holat kasrdagi masalalarni yechishni o'rgatish metodida o'z ifodasini topgandek bo'ldi. Hozirgacha metodistlar alikvot kasrlarni ta'kidlab, ularni chaqirishadi " ulushlar " , va terminologik jihatdan farqlash, masalan, sonning bir qismini va sonning bir qismini topish. Hech shubha yo'qki, kasrlarni o'rganish, xuddi qo'shma masalani yechishni o'rganish kabi - uning birinchi bosqichini ajratish bilan ham, alikot kasrlardan boshlanishi kerak. Lekin o‘qituvchining uslubiy atamalari o‘quvchilarga yetkazilishi va ularning ishchi terminologiyasi bo‘lishi kerak degan fikr hech qayerdan kelib chiqmaydi. Bundan tashqari, endi kasr, A.P.ning darsliklarida bo'lgani kabi, kasr yoki bir nechta kasrlarning birikmasi sifatida belgilanmagan. Kiseleva yoki I.N. Shevchenko. Aks holda, kasrlar, qismlar va ulushlar bilan talabalar uchun tushunarli bo'lmagan formulalardan qochish qiyin bo'ladi: “ Kasr berilgan sonni topishga oid masalalarni qanday yechishni bilasiz. Keling, berilgan kasr bo‘yicha sonni topishga oid masalalarni yechishni o‘rganamiz » . [3, b. 167] " ulashish " barcha kasrlardan va sonning ulushini va sonni uning kasri bo'yicha topish bo'yicha topshiriqlardan kasrlar uchun tegishli topshiriqlardan, chunki rus tilida so'zlar " ulashish " va " qism " sinonimlardir. So'z " ulashish " Ular qism alikvot kasr sifatida ifodalanmagan hollarda ham qo'llaniladi. Sonning bir qismi oddiy kasr (shu jumladan, alikvot), o'nli kasr yoki foiz sifatida ifodalanishi mumkinligini hisobga olib, umumiy vazifalar sifatida sonning bir qismini va uning qismi bo'yicha sonni topish haqida gapiramiz, ulush, foiz raqamlari va teskari masalalarni topishga olib keladigan maxsus holatlar. Bu biroz terminologik tushuntirish kasr va foizlar bo'yicha eng oddiy masalalarni yechish usullari o'rtasidagi munosabatni yanada ta'kidlaydi. Biroq, muammo faqat terminologiyada emas.
O'tgan yillarda boshlang'ich maktabda kasr muammolariga katta e'tibor berildi. Endi bu masalada 5-6-sinflarda ishlaydigan o'qituvchilarga har doim ham ma'lum bo'lmagan sezilarli o'zgarishlar yuz berdi. Keling, bir necha yil orqaga qaytaylik va 1976 yil 3-sinf (boshlang'ich sinflar uchun bitiruv) uchun matematika darsligidagi kasr masalalarini ko'rib chiqaylik. Hatto bo'linishdan oldin ham " Kasrlar " sonning kasrini topishga 8 ta masala va sonni kasrga qarab topishga 3 ta masala bor. Bundan tashqari, har bir turdagi birinchi topshiriqlarda ulushlar so'z bilan, keyin esa kasr yordamida yozildi. Hatto bu birinchi vazifalar ham murakkab edi - 3-4 ta harakatda. To'g'ri, kasrlar bilan bog'liq oddiy topshiriqlar (shu jumladan kasr ko'rinishidagi kasrlarni belgilash) 2-sinf darsligida ilgari uchragan.
Bobda " Kasrlar " kontseptsiyaning o'zini shakllantirish bo'yicha turli ishlardan so'ng " kasr " , atamalar bilan tanishish " hisoblagich " , « maxraj » , kasrlarni yangi maxrajga qisqartirgandan so'ng va har xil maxrajli kasrlarni solishtirgandan so'ng (barchasi raqamlarga asoslanadi), sonning kasrini ikki bosqichda topish masalasining namunaviy yechimi berildi. Bundan tashqari, darslikning 100 sahifasida sonning kasr qismini topish uchun 32 ta vazifa va sonni uning kasr qismi bo'yicha topish uchun 5 ta topshiriq (ulardan to'rttasi kompozit) tarqatildi. O'quvchiga muammolarning murakkabligining o'sish tezligi haqida tasavvurga ega bo'lishi uchun biz tahlil qilingan namunadan keyin sonning ulushini topish bo'yicha oltinchi masalani va raqamni uning kasri bo'yicha topishga oid masalani taqdim etamiz. .
574. Avtoturistlar uch kun ichida sayohat qilishdi 360 km; ular o'tgan birinchi kunida 2/5 , ikkinchi kuni esa - 3/8 hamma yo'l. Uchinchi kuni avtoturistlar necha kilometr yurdilar?
575. Ota o'g'liga 24 rublga kostyum sotib oldi, uni sarfladi 1/3 ularning pullari. Shundan so'ng u bir nechta kitob sotib oldi va 39 rubl qoldi. Kitoblar qancha turadi? [o'n to'rt]
Albatta, oddiyroq topshiriqlarning yo'qligi va vazifalar orasidagi uzoq vaqt oralig'i o'rganishda yaxshi natijalarga erishishga imkon bermadi, ammo bu va boshqa kamchiliklarni osongina bartaraf etish mumkin edi. Biroq, to'rt yillik boshlang'ich maktab ta'limiga o'tishda g'alati narsa yuz berdi - darsliklardan kasrlar butunlay yo'qoldi. 1988 yilgi matematika dasturida 3-sinfda bolalarni faqat sonning kasri va sonni uning kasri boʻyicha topishga, 4-sinfda esa sonning bir necha kasrlarini topishga oid masalalar yechishga oʻrgatish koʻzda tutilgan [20]. Ammo dasturning bu talabi Yu.M. tomonidan tahrir qilingan yangi darsliklar to‘plamida bajarilmadi. Kolyagin. Agar 4-sinf darsligida birinchi turdagi 16 ga yaqin topshiriq va ikkinchi turdagi 4 ta topshiriq (3-sinf darsligida mos ravishda 18 va 14) bo'lsa, unda sonning bir nechta kasrlarini topish uchun bitta topshiriq mavjud emas. . Shunday qilib, boshlang'ich maktabda maktab o'quvchilariga sonning kasrini va uning kasridan sonni topishga o'rgatish kerak emas edi.
Bu erda shuni ta'kidlashni istardikki, 1988 yil dasturining talablari 1897 yilda tasdiqlangan uch yillik boshlang'ich umumta'lim maktablari talablari bilan solishtirganda ham orqaga qadam bo'lgan, unda o'quvchilar ta'limning ikkinchi yilida ulushlar bilan tanish bo'lishi kerak edi. va uchinchisida ular bilan hisob-kitoblar. Dasturda "ruxsat berilishi mumkin bo'lgan aktsiyalar to'g'risidagi eng katta ma'lumotlar miqdori ..." ko'rsatilgan: 1) o'zlari butun son sifatida ifodalangan bir yoki bir nechta qismlarni topish; 2) hayotda eng ko'p ishlatiladigan birlik qismlarini topish (masalan, 1/2, 1/4, 1/8, 1/10 1/5, 1/3, 1/6);
3) birlikning allaqachon tanish bo'lgan bir nechta kasrlaridan foydalanish, 4) birlik qismlaridan butunlar hosil qilish va birlik kasrlarida butunliklarni ifodalash; 5) birlikning bir xil qismlarini qo'shish va ayirish; 6) birlik qismlarini bir necha marta takrorlash; 7) berilgan ham, qidirilayotgan ham butun son bo‘lganda bo‘lakning butuni va butunning qismi bo‘yicha topish; 8) har xil ulushlarni qo'shish va ayirish faqat hayotda eng ko'p uchraydigan holatlarga nisbatan yo'l qo'yilishi mumkin , masalan 1/2 Bilan 1/8, va agar talabalar darhol qanday ulushlarda summani ifodalash mumkinligini taxmin qilsalar. Ushbu mashqlarning barchasiga faqat muammolarni hal qilishda, hech qanday nazariy tushuntirishlar va xulosalarsiz ruxsat berilishi mumkin .
Bir ekstremaldan - kasrlar uchun darslikdagi murakkab va har doim ham yaxshi tartibga solinmagan muammolarni hal qilishni o'rganish - boshlang'ich maktab boshqasiga kirdi. Endi u nafaqat topa olmaydigan bolalarni qo'yib yuboradi 2/3 raqam, lekin darslikda bunday belgi ko'rilmagan. Yuqoridagilarning barchasi boshlang'ich maktabda kasrlar bo'yicha muammolarni o'rganishda eng yaxshi o'zgarishlar bo'lmaganligini ko'rsatadi. Shu bilan birga, 5-sinf darsliklarida kasrlarga oid materialning taqdimoti amalda o'zgarmagan. Ushbu uslubiy noto'g'ri hisoblash ba'zi kompensatsiyalarni talab qiladi.
Adolat uchun, keling, rad javobini beramiz. So'nggi paytlarda boshlang'ich sinflar uchun juda ko'p turli xil darsliklar paydo bo'ldi va ularning ba'zilarida kasrlarni o'rganish ancha rivojlangan. Masalan, N.Ya.ning darsliklarida. Vilenkin va L.G. Boshlang'ich maktab uchun Peterson kasrlar bo'yicha deyarli barcha vazifalarni "o'tdi". Ko'rinishidan, bunday oldinga sakrashni oqlash qiyin. Axir u 5-6-sinflarda odat bo'lganidek, kasrlar haqidagi nazariy ma'lumotlarni o'rganish bilan birga kelmaydi. Shuning uchun o'rganish faqat o'qituvchiga taqlid qilishga asoslangan bo'lishi mumkin.
Kasr muammolarini qanday boshlash kerak? Ko'rinib turibdiki, o'quvchilar birinchi navbatda boshlang'ich maktabda hal qilgan muammolarni eslatib turishlari kerak. Shu bilan birga, dastlab aktsiyalar so'zlar bilan berilishi kerak: yarim, uchinchi, chorak va boshqalar. Keyin - o'qish va yozishni soddalashtirish uchun - kasrlar yordamida. Atamalar bilan tanishtirish " kasr " , " hisoblagich " , " Maxraj " , ularning ma'nosi va maqsadini aniqlashtirish darslik ustida maxsus tashkil etilgan ishdan oldin bo'lishi mumkin, chunki birinchi vazifalarni hal qilishda kasrlarning o'zlari hali o'quvchilar tomonidan harakatlar bajarilishi kerak bo'lgan raqamlar sifatida qabul qilinmagan. 2.1-bo'limda bunday vazifalar mavjud - ularni 5-sinfning birinchi yarmida hal qilish mumkin. Talabalarni masalalar yechishga tayyorlovchi vazifalar ham mavjud . " hovuzlarga " . Ularning yechimi o‘quvchilarning kasrlar ma’nosini chuqurroq tushunishlariga yordam beradi.
2.1-bo'limda bo'limdan shunday vazifa mavjud " Oshgan qiyinchilik muammolari " darslik N.Ya. Vilenkin va boshqalar. (1984):
Kolxozchi bozorda tuxum sotardi. Birinchi mijoz undan tuxumning yarmini va yana yarim tuxumni, qolganining ikkinchi yarmini va yana yarim tuxumni, uchinchisi esa oxirgi 10 ta tuxumni sotib oldi. Kolxozchi bozorga qancha tuxum olib keldi?
Bu vazifa bilan bog'liq bir hikoya bor, uni qisqacha aytib berishga arziydi. Gazeta " Moskovskiy komsomolets " bo'limida 1987 yil 26 aprelda nashr etilgan " Satira va hazil " V.Suminning qisqartmalar bilan keltirgan gapi: “ Do‘konda yarim tuxum sotish uchun uchrashganmisiz? Yo'qmi? Men ham. Va bozorda - iltimos! Buning sababini biz kattalar bilamiz. U erda hamma ham tuxumni to'liq sotib olishga qodir emas. Va bu haqda bolalarga xabar bering, ularga ruxsat bering! ... Lekin baribir, ayyor odamlar, bu sotuvchilar!.. Va ular qanday qilib boshqaradilar? Men butun kunni o'tkazdim, yuzta tuxum sarfladim, lekin bittasini yarmiga bo'ldim. Balki kimdir menga yordam berar, ha? .. "
Bu juda achinarli hazil. Ayniqsa, mulohazalar muallifi turli darajadagi matematika olimpiadalari g‘oliblari bilan mashhur bo‘lgan Moskvadagi 2-fizika-matematika maktabini tamomlagan, o‘zi esa metallurgiya texnikumlari uchun darslik yozganini o‘ylasangiz. Xo'sh, - deydi o'quvchi, - kim bilan sodir bo'lmaydi! Va biz rozi bo'lardik, lekin bu muammo! O‘quvchilardan 11 ta xat kelib tushgan gazeta yana bir bor muhokamaga qaytdi Oldingi nashrning mazmunini quyidagicha eslab, " Tuxumning ishi " : “ Endi replika haqida. Bu darslik nafaqat matematikani o‘rgatishi, balki odamlar va predmetlar o‘rtasidagi haqiqiy munosabatlarni ham aks ettirishi kerakligi haqidagi oddiy va umuman olganda, bizning fikrimizcha, adolatli fikrni ifodalaydi. 1513-sonli masalada matematik mantiq oddiy aql bilan ziddiyatga tushdi. Matematikaning aytishicha, yarim tuxum va yarim tuxum bitta butun tuxum bo'ladi. Sog'lom fikr aytadiki, hech kim ... "
Batafsil muhokama yakunida gazeta yana so‘zni V.Suminga berdi, u N.Ya.ning xatini o‘qib chiqdi. Vilenkin javobni o'z ichiga oladi " 43 tuxum " deb yozadi: “ ... Nima bo'ldi? Ular tuxumni urib, urib, yarmini sindirib, xaridorlarga shu shaklda berishdi (va bunday yumshoqlarni qaerdan topishdi?), Va yana butun bo'lib chiqdi! » va boshqalar xuddi shu tomirda.