Механик система

Системанинг массаси. Массалар маркази.
Механик системанинг ҳаракати, унга таъсир этувчи кучлардан ташқари, системанинг умумий массаси ва массаларнинг қандай тарқалганлигига ҳам боғлиқ бўлади. Системанинг массаси (М ёки m -ҳарфлари орқали ифодаланади), системани ташкил этувчи нуқталар ёки жисмларнинг массаларини арифметик йиғиндисига тенг бўлади:
М=m_k
Массаларнинг тарқалганлиги, системанинг ҳар бир нуқтасининг массаси m_k, ва шу массаларнинг ўзаро қандай жойлашган эканликлигига, яҳни уларнинг x_k, y_k, z_k координаталарига боғлиқ ҳолда аниқланади. Лекин биз қуйида кўриб ўтадиган динамикага оид, аниқроғи қаттиқ жисм динамикасига оид масалаларни ечишда, ҳар бир нуқтанинг массаси m_k ва уларнинг координаталари x_k, y_k, z_k орқали эмас, балки уларни характерловчи умумий ифодалар орқали амалга оширилади.
Улардан бири, массалар марказининг координатаси (система нуқталари массаларининг, уларнинг координаталарига кўпайтмаларининг йиғиндиси орқали ифодаланади); иккинчиси, ўққа нисбатан инерция моментлари (система нуқталари массаларининг, уларнинг иккитадан иборат координаталари квадратларига кўпайтмаларининг йиғиндиси орқали ифодаланади); учинчиси, марказдан қочма инерция моментлари (система нуқталари массаларининг, уларнинг иккита координаталарига кўпайтмалари нинг йиғиндиси орқали ифодаланади). Ушбу бобда, шу характеристикаларни аниқлаш билан шуғулланамиз.
М а с с а л а р м а р к а з и. Бир жинсли оғирлик кучи майдонида, яъни g=cоnst бўлганда, ҳар бир заррачанинг оғирлиги унинг массасига пропорционал бўлади. Шу сабабли, система массаларининг қандай тарқалганлигини унинг масса маркази орқали аниқланади. §32 даги оғирлик марказини аниқлашга оид бўлган (59) формулани, уларнинг массалари орқали ифодаланадиган кўринишга келтирамиз. Бунинг учун, ўша формуладаги р_k=m_kg ва Р=Mg лар орқали ифодалаймиз, ва тенгликни g -га қисқартириб юборсак,
x_C= m_kx_k, y_C= m_ky_k, z_C= m_kz_k, (1)
Олинган формулаларда, моддий нуқта (заррача)ларни массалари -m_k, ва шу нуқталарнинг x_k, y_k, z_k координаталари иштирок этмоқда. Шу сабабли, агар m_k, x_k, y_k, z_k лар система нуқталарининг массалари ва уларнинг координаталаридан иборат бўлса, ҳақиқатдан ҳам С (x_С, y_С, z_С) нуқтанинг ҳолати (ўрни) ҳар қандай жисм ёки механик системанинг массаларини тарқалишини характерлаб беради.
Координатаси (1) формула орқали аниқланадиган С нуқтанинг геометрик ўрни, массалар маркази ёки механик системанинг инерция маркази деб аталади.
Агар, масса марказини унинг радиус - вектори орқали ифодаланса, у ҳолда (1) формуладан -ни аниқлаш формуласини ёзамиз,
= m_{k k} (1’)
бу ердаги _k- системани ташкил этувчи нуқталарнинг радиус-векторлари.
Юқорида аниқланган натижаларга асосан, шуни таъкидлаб ўтиш лозим эканки, бир жинсли оғирлик кучи майдонидаги қаттиқ жисмнинг оғирлик маркази ва массалар марказининг ўрни бир жойда бўлар экан. Лекин, массалар маркази оғирлик марказидан мазмунан фарқли бўлиб, у ўзининг ўрнини ҳар қандай куч майдонида (масалан, марказий тортилиш майдонида) ҳам сақлаб қолади ва массаларни тарқалганлик характеристикаси, фақат қаттиқ жисм учунгина ўринли бўлиб қолмасдан, ихтиёрий механик система учун ҳам ўринлидир.