Метод Эйлера

Приспособление произвольных функций к данным
Под приспособлением произвольных функций к данным (нелинейной регрессией общего вида) подразумевается нахождение вектора К параметров произвольной функции F(x,K1,K2,...,Kn), при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек.
Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция genfit(VX, VY, VS, F). Эта функция возвращает вектор К параметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией Р(х,К1,К2,...,Кn) исходных данных.
F должен быть вектором с символьными элементами, содержащими уравнение исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектора К, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.

5.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две группы:
1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (таковы, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др.);
2) итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу их относятся метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.).
Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна. При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность метода.
Наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неиз­вестных; носящий название метода Гаусса. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными
(12)
Пусть (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (12) на , получим:
(13)
где

Пользуясь уравнением (13), легко исключить из системы (12) неизвестную . Для этого достаточно из второго уравнения системы (12) вычесть уравнение (13), умноженное на из третьего уравнения системы (12) вычесть уравнение (13), умноженное на , и т.д. В результате получим систему из трех уравнений
(12')
где коэффициенты вычисляются по формуле

Разделив, далее, коэффициенты первого уравнения системы (12') на “ведущий элемент“ , получим уравнение
(13')
где

Исключая теперь таким же способом, каким мы исключили , придем к следующей системе уравнений:
(12'')
где

Разделив коэффициенты первого уравнения системы (12'') на ''ведущий элемент'' , получим:
(13'')
где

Исключив теперь аналогичным путем из системы (12''), будем иметь:
(12''')
где

Отсюда
(13''')
Остальные неизвестные последовательно определяются из уравнений (13''), (13') и (13):

Таким образом, процесс решения линейной системы по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (13), (13'), (13''), (13'''), имеющей треугольную матрицу. Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех ”веду­щих элементов”. Вычисления удобно поместить в таблицу (табл. 2.). Схему метода Гаусса называют также схемой единственного деления. Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы обычно называется прямым ходом, процесс получения значений неизвестных  обратным ходом.
При обратном ходе используются лишь строки разделов А, содержащие единицы (отмеченные строки), начиная с последней. Элемент из раздела, стоящий в столбце свободных членов от­меченной строки раздела, дает значение . Далее, все остальные неизвестные шаг за шагом находятся с помощью вычитания из свободного члена отмеченной строки суммы произве­дений ее коэффициентов на соответствующие значения ранее найден­ных неизвестных. Значения неизвестных последовательно выписываются в последний раздел B. Расставленные там единицы помогают находить для соответствующие коэффициенты в отмеченных строках.
Таблица 2.

Свободные члены

S