Метод Эйлера

Разделы схемы

						А
						А1
						А2
						А3
						В

Для контроля вычислений используют так называемые “контрольные суммы“
, (14)
помещенные в столбце и представляющие собой сумму элементов строк матрицы исходной системы (12), включая свободные члены.
Если принять за новые свободные члены в системе (12), то преобразованная линейная система
(15)
будет иметь неизвестные , связанные с прежними неизвестными , соотношениями
(16)
В самом деле, подставляя формулы (16) в уравнение (15), в силу системы (12) и формул (14) получим тождество

Вообще, если над контрольными суммами в каждой строке проделывать те же операции, что и над остальными элементами этой строки, то при отсутствии ошибок в вычислениях элементы столбца равны суммам элементов соответствующих преобразован­ных строк. Это обстоятельство служит контролем прямого хода. Обратный ход контролируется нахождением чисел , которые должны совпадать с числами .
При решении систем уравнений и неравенств используется итерационный метод Левенберга – Маркардта, содержащийся в известном и свободно распространяемом пакете алгоритмов численных методов MINPACK. Этот метод пытается найти нули или минимум среднеквадратичной погрешности при решении заданной системы уравнений или системы неравенств. При решении с применением аппарата комплексных чисел раздельно решаются действительная и мнимая части уравнений.
При решении вычисляется также вектор невязки. Если его величина меньше TOL, система возвращает вектор переменных-неизвестных. Если для решения используется функция find, при величине вектора невязки больше TOL система сообщает, что решение не найдено. Когда используется функция minerr, вектор неизвестных возвращается даже в том случае, когда значение вектора невязки больше TOL. Наконец, если не обнаружено схождение за заданное число итераций, выдается сообщение об отсутствии сходимости (как при применении функции find, так и minerr). В любых случаях величина вектора невязки определяется значением переменной ERR.
Для вычисления определителей матрицы и ее инвертирования используется LU-разложение. При этом матрица М разлагается в произведение нижней треугольной матрицы L и верхней U (т. е. M=L-U). Такой метод хорошо известен. В частности, он позволяет:
• вычислить определитель исходной матрицы как произведение диагональных элементов матриц L и U;
• вычислить обратную матрицу из решения матричного уравнения , где е – вектор с единицей на j-м месте и нулями в остальных позициях, V – вектор решения, который образует столбцы обратной матрицы для каждого j.
Для решения системы уравнений напечатайте слово Given. Потом напечатайте уравнения или неравенства ниже этого слова. Напечатайте функцию Find, вводящую неизвестные величины как аргументы. Нажмите Ctrl +. Mathcad отобразит стрелку вправо. Щелкните мышкой вне функции Find.
Mathcad размещает результаты в вектор. Результаты находятся в том же самом порядке как переменные функции Find.
Этот пример можно использовать, для решения системы уравнений.
Найти пересечение двух плоских линий:
Given


Используйте [Ctrl] =, чтобы напечатать полужирные знаки “=”.

Система имеет одно решение.