Метод координат на плоскости величина направленного отрезка проекция вектора на ось декарт

N(x_N; y_N), где
x_N=ρ₂Cos (φ₂+π/4) = 2Cos(π +π/4) =-2Cos(π/4)= ,
y_N=ρ₂Sin (φ₂+π/4) = 2Sin(π +π/2) = -2Sin(π/4)= .

Ответ:

Задача 5. Для векторов , задан­ных в ортонормированном базисе найдите:

1. 
   направляющие косинусы вектора ;
   
2. 
   площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имею­щих общее начало;
   
3. 
   объем пирамиды, построенной на векторах , и , имеющих об­щее начало.
   

1) ; ;
2) ; ;
3)

Ответ: ; ; ; ; 82.

Задача 6. С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

29x² + 144xy + 71y² – 40x + 30y – 50 = 0.
Написать формулы преобразования и изобразить данную кривую на чертеже.
Решение:
При повороте системы координат на угол φ наблюдается следующая зависимость между старыми и новыми координатами:

.
Тогда общее уравнение кривой второго порядка
Ax² + 2Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
преобразуется следующим образом:
+
+
Раскроем скобки. Получим

или
, где




.

Для того, чтобы избавиться от перекрестного члена необходимо повернуть систему координат на такой угол φ, чтобы , т.е.

Найдем :
где .

Тогда

и
; .

Имеем:

.

Получили:

, где .
Канонический вид уравнения заданной кривой:
Это гипербола с вершинами в точках и ; асимптотами и фокусами и

Ответ:

Задача 7. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:

.

Решение:
Имеем: a₁₁ = 4, a₂₂ = 9, a₁₂ = 0, a₁ = −16, a₂ = 9, a₀ = 37. Тогда

, то есть уравнение задает кривую эллиптического типа. Так как , то выделяем "полный квадрат":
 ;
;
 ;
 .
Сделаем замену:
.
В системе координат уравнение имеет вид:

.

Таким образом, данное уравнение определяет эллипс с полуосями и , с центром в точке . Строим чертеж .


Решение:

Задача 8.

Ответ:

Задача 9.




Ответ:

Задача 10. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:

.

(1)

Решение:
Имеем: a₁₁ = 9, a₁₂ = −6, a₂₂ = 0, a₁ = −21, a₂ = 6, a₀ = 81. Тогда

то есть уравнение (1) задает кривую гиперболического типа. Далее находим:

Найдем собственные значения:
.
Тогда угол поворота равен
Далее найдем координаты α, β нового центра О₁ системы координат .
.
Уравнение (1) в системе примет вид:

.

(2)

Уравнение (2) задает гиперболу, у которой и , фокусы гиперболы лежат на оси О₁х₁.
Строим гиперболу на плоскости по плану :
╥ поворачиваем ось на угол против часовой стрелки, для этого строим прямую (так как ); в результате получаем систему координат ;
╥ на плоскости отмечаем точку , через эту точку проводим две прямые, параллельные осям и ; получаем систему координат ;
╥ в системе строим гиперболу, согласно уравнению (2).

Задача 11. Уравнение прямой x + 3y - 4 = 0 привести к нормальному виду.

Решение.
Нормирующий множитель определяется по формуле

Здесь A = 1; B = 3. Перед корнем надо выбрать знак, противоположный знаку свободного члена в заданном уравнении, т. е. знак плюс. Тогда нормирующий множитель

после умножения обеих частей уравнения на N уравнение примет вид

Задача 12. Общее уравнение прямой 4x - 3y + 12 = 0 представить в виде: 1) с угловым коэффициентом; 2) в отрезках на осях и 3) в нормальном виде. Построить эту прямую.
Решение.
1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx + b. Чтобы заданное уравнение преобразовать к этому виду, разрешим его относительно y: 3y = 4x + 12, .
Сравнивая с уравнением y = kx + b, видим, что здесь угловой коэффициент прямой , а величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, b = 4 (если уравнение прямой дано в общем виде Ax + By + C = 0, то ее угловой коэффициент легко получить, если разделить коэффициент при x на коэффициент при y и взять полученное частное с обратным знаком ).
2) В отрезках на осях уравнение прямой имеет вид
(1)
Чтобы определить величины отрезков, отсекаемых заданной прямой 4x - 3y + 12 = 0, поступим так: в уравнении прямой положим y = 0. Получаем 4x + 12 = 0, а x = -3. Значит, наша прямая пересекает ось Ox в точке с координатами (-3, 0) и в уравнении (1) величина отрезка a = -3.
Полагая в нашем уравнении x = 0, определим ординату точки пересечения прямой с осью ординат. Будем иметь
-3y + 12 = 0; y = 4.
Точка пересечения прямой с осью ординат имеет координаты (0, 4), и в уравнении (1) величина отрезка b = 4.
Таким образом, наше уравнение в отрезках на осях будет иметь вид

3) Чтобы привести уравнение к нормальному виду, обе его части следует умножить на нормирующий множитель , выбрав перед корнем знак, противоположный знаку свободного члена в общем уравнении прямой. В нашем случае свободный член в общем уравнении прямой равен +12, а поэтому перед корнем в нормирующем множителе должен быть выбран противоположный знак, т. е. знак минус, и так как A = 4, B = -3, то .
Умножая на обе части уравнения 4x - 3y + 12 = 0, приведем его к нормальному виду

Запомнить: В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна единице, а свободный член должен быть отрицательным. Эти два требования в полученном нами последнем уравнении, как легко проверить, выполнены. В пункте 2 решения мы получили уравнение прямой в отрезках на осях: a = -3, b = 4. Зная эти отрезки, мы легко построим нашу прямую (см. рисунок).

Задача 13. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 3x - 6y + 5 = 0, а также координаты основания этого перпендикуляра.


Решение.
Приведем данное уравнение к нормальному виду:

После умножения на нормирующий множитель уравнение примет вид

Из сравнения с заключаем, что .
Для определения координат основания этого перпендикуляра из рисунка

получим формулы


(эти формулы верны при любом расположении прямой относительно координатных осей).
как видно из уравнения и искомые координаты основания перпендикуляра равны

Задача14.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Решение.
Возьмем прямоугольную систему координат, и пусть две данные точки B и C лежат на оси абсцисс и имеют координаты (x₁, 0) и (x₂, 0) (см. рисунок). Пусть точка A принадлежит искомому геометрическому месту. Обозначим ее координаты через x и y: A(x, y).

На основании формулы для определения расстояния между двумя точками , значит, так как по условию AB = AC, можем написать, что . Это и есть уравнение искомого геометрического места.
Возводя в квадрат обе части искомого равенства, будем иметь
(x - x₁)² + y² = (x - x₂)² + y².
После очевидных упрощений получим 2x(x₂ - x₁) = (x₂ - x₁)(x₂ + x₁); сокращая на , имеем 2x = x₁ + x₂, или .
Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox и проходящей через середину отрезка BC.
Итак, искомым геометрическим местом является прямая, перпендикулярная к отрезку BC, соединяющему данные точки, и проходящая через его середину.
Замечание. При решении задачи нам пришлось уничтожить радикалы в уравнении искомого геометрического места
(1)
в результате чего было получено уравнение
(2)
Из алгебры известно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к уравнению, которое не равносильно (не эквивалентно) исходному. Это значит, что уравнение, полученное от возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения, может иметь решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, т. е. иметь так называемые "посторонние" корни. Поэтому всегда в тех случаях, когда обе части уравнения приходится возводить в квадрат, следует ставить вопрос об эквивалентности полученного и исходного уравнений.
В интересующем нас случае вопрос ставится так: не содержит ли линия (2) точек, которых нет на линии (1), т. е. таких, координаты которых не удовлетворяют уравнению (1) и таким образом не удовлетворяют исходному условию AB = AC.
Чтобы убедиться в том, что линия (2) не содержит точек, которых нет в линии (1), надо показать, что уравнение (2) может быть преобразовано в уравнение (1).
Произведя в обратном порядке операции, с помощью которых было получено уравнение (2), мы придем к уравнению (x - x₁)² + y² = (x - x₂)² + y², откуда следует, что
(3)
т. е. что ; отсюда видно, что или AB - AC = 0, или AB + AC = 0.
Но AB > 0 и AC > 0, а следовательно, , так как сумма двух положительных величин не может быть равна нулю, а потому остается только одно равенство AB - AC = 0, т. е. AB = AC, и знак минус перед правой частью уравнения (3) должен быть отброшен. Поскольку из уравнения (1) получается уравнение (2) и обратно - из уравнения (2) следует уравнение (1), то эти уравнения равносильны (эквивалентны). Таким образом, поставленный вопрос решен: линия (2) не содержит таких точек, которых нет на линии (1).
Задача 15. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек A и B есть величина постоянная, равная a². Длину AB считать равной 2a.
Решение.
Проведем вывод уравнения в прямоугольных координатах. Направим ось Ox по прямой, соединяющей A и B, как обычно, вправо, начало координат поместим в середине отрезка AB, ось Oy направим вверх по перпендикуляру к оси Ox. Длина отрезка AB по условию равна 2a (AB = 2a); тогда точки A и B будут иметь координаты: A(-a, 0); B(a, 0). Пусть точка M принадлежит кривой. Ее координаты обозначим через x и y (см. рисунок).

Из условия задачи AM * BM = a². По формуле расстояния между двумя точками

Значит,
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
[(x + a)² + y²][(x - a)² + y²] = a⁴,
Или [(x² + y² + a²) + 2ax][(x² + y² + a²) - 2ax] = a⁴;
(x² + y² + a²)² - 4a²x² = a⁴.
Упрощая, получаем (x² + y²)² = 2a²(x² - y²).
Это и есть искомое уравнение.
Задача 16. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и :
Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми и есть расстояние от точки до плоскости :


Решение:
Рассстояние от точки до плоскости вычисляется по такой формуле:

Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.
Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки и точек , и , задающих плоскость вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:
Запишем координаты нужных нам точек:




Чтобы найти коэффициенты , , и в уравнении плоскости , примем коэффициент , и подставим координаты точек , и в уравнение плоскости. Получим систему уравнений:


Отсюда:
,
,

Подставим значения коэффициентов и координаты точки в формулу для расстояния. Получим: