Метод математической индукции

(5.6.3) tengsizlik ixtiyoriy da bajariladi deb faraz qilamiz. Ushbu farazni matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz.

1-qadam. n = 5 da ga ega bo‘lamiz. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. n=k da tengsizlikning to‘g‘ri ekanligi berilgan bo‘lsin.
U holda n = k+1 da o‘rinli ekanligini isbotlash lozim.
Isboti.
2-qadam isbotlandi. Matematik induksiya prinsipiga ko‘ra (5.6.1) tenglikning ixtiyoriy natural sonda bajarilishi kelib chiqadi.
7-masala. ko‘paytmani orqali ifodalang.
Gipoteza o‘rnatamiz: n = 1 da: ;
n = 2 da:
. (5.7.0)
Ikkita hosil bo‘lgan natijani taqqoslab, quyidagi gipotezani isbotlaymiz:
. (5.7)
1-qadam. n=1 da ushbu (5.7) tenglikning isboti (5.7.0) tenglikdan kelib chiqadi.
2-qadam. n = k da ilgari surilgan gipoteza rost deb faraz qilamiz:
. Bu tenglik n = k+1 da bajariladi.
Isboti.
.
2-qadam isbotlandi.
1- va 2-qadamlardan (5.6.3) tenglikning ixtiyoriy n natural sonda bajarilishi kelib chiqadi.
§6. Paskal uchburchagi.

Faraz qilaylik, a va b – haqiqiy sonlar. Turli n natural sonda ifodani ko‘rib chiqamiz:

n = 0 da: = 1.
n= 1 da: = (1 a + 1 b).
n = 2 da: = .
n = 3 da: = .
n = 4 da: = .
Agar koeffitsentlarni darajada yozsak va ularni n = 1, 2, 3, 4 da quyidagi uchburchakdagi sonlar bilan taqqoslaymiz:

U holda ushbu sonlarning mos ekanligini hosil qilamiz. Yuqoridagi rasmda uchburchak quyidagi qoida bo‘yicha tashkil etiladi: Har bir qatornig chekka qismida 1 raqami joylashgan, har bir navbatdagi son oldingi qatorda joylashgan ikkita sonning yig‘indisiga teng. Ushbu qoida asosida

ushbu uchburchakning yangi qatorini ketma-ket yozish mumkin. Bunday ta’rif 1665 yil fransuz matematigi B.Paskalning “Arifmetik uchburchak haqida traktat” asarida olimdan so‘ng chop etildi. Uchburchakning shunga o‘xshash variantlari o‘rta osiyolik olim va shoir Umar Xayyom va italiyan matematigi N.Tartalya asarlarida bayon etilgan.

Fanning yo‘nalishlaridan biri kombinatorika bo‘lib, uning asosiy mohiyati quyidagicha: n elementga ega bo‘lgan to‘plamning m ta elementli nechta qism to‘plami mavjud. Bunday qism to‘plamlar n elemenrdan m tadan guruh deyiladi. n elementdan m tadan guruhlashlar soni kabi yoziladi va “kombinasiya n elementdan m tadan” deb o‘qiladi. U
, . (6.1)
formula bo‘yicha hisoblanadi. Bu son Pascal uchburchagidagi sonlar bilan uzviy bog‘liq. Haqiqatdan ham, n = 0 da ga ega bo‘lamiz. Ushburchakning yuqoridagi qatori (nolinchi) bitta sondan iborat. Navbatdagi qator – ikkita sondan iborat: . To‘rtinchi qator 5 ta sondan iborat: .