8.4-masala. Har bir n natural son uchun ifodaning 9 ga 1 qoldiqda bo‘linishini isbotlang.
Isboti. Masala sharti sonning 9 ga karrali shartiga teng kuchli.
1-qadam. n = 1 da ifoda 9 ga karrali. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. n = k da sonning 9 ga bo‘linishi berilgan. n = k+1 da sonning 9 ga bo‘linishini isbotlash lozim.
Isboti.
.
. (9.1)
Isboti. Dastlab quyidagi tengsizlikni isbotlaymiz:
.
integral egri chiziq, x = 1, x = n va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzasiga teng.
Bu yuza to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzalarining yig‘indisidan kattadir.
(9.1.1)
Bu yuza esa to‘rtburchaklar yuzalarining yig‘indisidan kichikdir.
. (9.1.2)
Matematik induksiya metodi bilan (9.1.1) va (9.1.2) tengsizlikni isbotlaymiz:
1-qadam. Uchta rasm va [0, 1] oraliqda aniqlangan integral xossasidan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi . Bundan n = 2 da (9.1.1) va (9.1.2) tengsizliklarning o‘rinli ekanligi tasdiqlanadi. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. n = k quyidagi tengsizlikning bajarilishi berilgan
.
n = k+1 da ushbu tengsizlikning bajarilishini isbotlash lozim:
. (9.1.3)
Isboti. Quyidagi shakllarning yuzalarini taqqoslaymiz:
(9.1.3) tengsizlikning chap qismini taqqoslaymiz:
.
(9.1.3) tengsizlikning o‘ng qismini taqqoslaymiz:
.
2-qadam isbotlandi. 1 va 2-qadamlarning isbotidan ixtiyoriy natural uchun tasdiq o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
