Метод математической индукции

9. 2-masala. Ushbu qonuniyatning tarqalish muhiti qanday:

; ; ; ?
Gipotezani isbotlaymiz. Har bir n natural son uchun quyidagi tenglik to‘g‘ri:
. (9.2)
Matematik induksiya metodi yordamida gipotezani isbotlaymiz.
1-qadam. n = 1 da ga ega bo‘lamiz. 1-qadam isbotlandi.
(9.2) tenglikning o‘ng qismi maxraji yig‘indisini topamiz:

. U holda

. Natijada quyidagi tenglikni isbotlash lozim: (9.2.1)
2-qadam. n=k da (9.2.1) tenglikning bajarilishi berilgan.
.


n = k+1 da (9.2.1) tenglikning bajarilishi ni isbotlash lozim:
.
Isboti.


. 2-qadam isbotlandi.

9.3-masala. Ixtiyoriy juft n natural son uchun tengsizlikni isbotlang:

. (9.3)
Isboti. isbotlashda quyidagi ma’lumotlar talab etiladi:
kesmada funksiyalar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
a) Ushbu funksiyalarning yuqori chegarasi o‘zgaruvchi bo‘lgan integrallar:
; (9.3.1)
b) . (9.3.2)


1-qadam. n = 2 da quyidagi tengsizliklarning o‘rinli ekanligini isbotlaymiz :

da ga ega bo‘lamiz, ya’ni: . x ni t ga almashtirish va ushbu tengsizlikni t bo‘yicha 0 dan gacha tekshirganda ni hosil qilamiz. U holda


da tengsizlikka teng kuchli tengsizlik bajariladi. X ni T ga almashtiruvchi va ushbu tengsizlikni T bo‘yicha 0 dan gacha integrallovchi protsedurani takrorlaymiz:
.
Shuning uchun
, . (9.3.4)
Yana bir bor shuni takrorlaymiz:
.
Oldingiga o‘xshash quyidagiga ega bo‘lamiz:
, .
To‘rtinchi marotaba X ni T ga almashtirish va ushbu tengsizlikni T bo‘yicha 0 dan gacha integrallab, quyidagiga ega bo‘lamiz:
. (9.3.5)
(9.3.4) va (9.3.5) tengsizliklardan quyidagi qo‘sh tengsizlikni hosil qilamiz:
.
1-qadam isbotlandi.
2-qadam. n = k (k - juft) da (9.3) tengsizlikning bajarilishi berilgan:
. (9.3.6)
n=k+2 da ushbu tengsizlikninig bajarilishini isbotlash lozim.
. (9.3.7)
Isboti. 1-qadamni isbotiga o‘xshash to‘rt marotaba x ni t ga almashtirish va t bo‘yicha 0 dan gacha mos tengsizlikni integrallash protsedurasini bajarish kerak. (9.3.6) tengsizlikning o‘ng qismida x ni t ga almashtirish va t bo‘yicha 0 dan gacha ushbu tengsizlikni integrallab quyidagini hosil qilamiz:
.
. Ikkinchi marotaba x ni t ga almashtirish va t bo‘yicha 0 dan gacha integtallab, quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
Bu quyidagiga teng kuchli
, . (9.3.8)
(9.3.6) tengsizlikning chap qismi isbotlandi. (9.3.8) tengsizlikni uchinchi marotaba x ni t ga almashtirish va t bo‘yicha gacha integrallab, quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
Bundan . To‘rtinchi marotaba ushbu tengsizlikni X ni T ga almashtirish va T bo‘yicha gacha integrallab, quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
Ya’ni quyidagi tengsizlik bajariladi:
.
(9.3.6) tengsizlikning o‘ng qismi, ushbu tengsizlik va (9.3.8) tengsizlikdan (9.3.7) tengsizlik hosil qilinadi. 2-qadam isbotlandi.