Метод математической индукции

9.4-masala. Har bir natural n > 1 uchun soni 7 raqami bilan tugallanadi.
1-qadam. n=2 da 7 raqami bilan tugallanuvchi hosil bo‘ladi.
2-qadam. sonning 7 raqami bilan tugallanishi berilgan. sonning 7 raqami bilan tugallanishini isbotlash lozim.
Isboti. son 7 raqami bilan tugallanganligi sabab, soni 6 raqami bilan tugaydi. Agar son 6 raqami bilan tugallansa, u holda unung kvadrati ham 6 raqami bilan tugaydi. n=k+1 da quyidagini hosil qilamiz: va 6 raqami bilan tugallanadi. 2-qadam isbotlandi.
9.5-masala. Ixtiyoriy n natural son uchun

soni to‘liq kvadrat ekanligini isbotlang.
Isboti. Ushbu masalani yechishda matematik induksiya metodidan foydalanmasdan isbotlash mumkin. yig‘indi q=10 maxrajli n+1 hadlardan iborat geometrik progressiyani anglatadi. U holda


ixtiyoriy n natural son uchun o‘rinli bo‘ladi. 2-qadam isbotlandi.


Eslatma.
Yuqorida ko‘rilgan masalalardan matematik induksiya metodi yordamida juda katta sinfdagi turli masalalarni yechish mumkinligi ko‘rsatiladi. Ushbu metodni qo‘llashga doir ko‘p masalalarni ko‘rsatish mumkin. Masalan quyidagi tengsizlikni isbotlaylik:
.
2-qadam. n = k da ushbu tengsizlikning bajarilishi berilgan. n = k+1 da bu tengsizlikning bajarilishini isbotlash lozim.
ni belgilaymiz. U holda n = k+1 uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
2-qadam isbotlandi.


Mustaqil yechish uchun masalalar.
1. Arifmetik progressiyaning n- hadi quyidagi formula bilan hisoblanishini isbotlang:
a _n = a₁ + d (n – 1), bu yerda a₁ – birinchi had, d – progressiya ayirmasi.
2. Geometrik progressiyaning n-hadi quyidagi formula bilan hisoblanishini isbotlang.
a _n = a₁ q ^{n – 1}, bu yerda a₁ – birinchi had, q – progressiya maxraji.

Quyidagilarni isbotlang:

1. 9 ga bo‘linadi.
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .

17. .

18. , .
19. Ixtiyoriy n natural son uchun ifodaning 133 ga karrali ekanligini isbotlang.
20. sonning 11 ga bo‘linishini isbotlang.
21. sonning 3 ga bo‘linishini isbotlang.
22. 7 tiyindan katta bo‘lgan ixtiyoriy pullar yig‘indisini 3 va 5 tiyinliklar bilan
qaytimsiz to‘lash mumkinligini isbotlang.
23. Faraz qilaylik ketma-ketlik quyidagicha berilgan bo‘lsin:
, u holda
formulaning to‘g‘riligini isbotlang.
24. Tengsizlikni isbotlang:
a). .
b). .
c). .
25. Tengsizlikni isbotlang: .
26. Tenglikni isbotlang:
.

27. 
    Quyidagi ayniyatni isbotlang:
    

.

28. ketma-ketlik berilgan. Dastlabki n hadi yig‘indisini toping.

29. 
    Har qanday n natural son uchun ifoda 5 ga karrali ekanligini isbotlang.
    

k = 2, 4. da har bir n natural son uchun ning k ga karrali
mulohazasining bajarilishini tekshiring.

29. 
    Ixtiyoriy n  N da isbotlang:
    

a). sonning 11 ga bo‘linishini.
b). sonning 19 ga bo‘linishini.

29. 
    Ixtiyoriy n  N da tengsizlikning o‘rinli ekanligin isbotlang:
    

a). .
b). Agar i bo‘lsa, u holda
.
c). Agar va , bo‘lsa, u holda
.
d). .

29. 
    Ixtiyoriy n  N da tengsizlikni isbotlang:
    

a) ;
b) ;
c) ;
d) .

29. 
    n  N uchun tengsizlikni isbotlang.
    

Adabiyotlar

1. 
   Брадис В.М., Минковский В. Л., Харчева А. К. Ошибки в математиче­ских рассуждениях. — М.: Учпедгиз, 1959.
   
2. 
   Уфановский В. А. Математический аквариум. — Ижевск: НИЦ «Регу­лярная и хаотическая механика», 2000.
   
3. 
   Соловьев Ю. П. Задачи по алгебре и теории чисел для математических школ. Ч. 1 - 3. — М.: школа им. А. Н. Колмогорова, 1998.
   
4. 
   Головина Л. И., Яглом И. М. Индукция в геометрии. Серия «популярные
   

лекции по математике» — Вып. 21.— М.: Наука, 1961.

5. 
   Соминский И. С. Метод математической индукции. Серия «популярные
   

лекции по математике» — Вып. 3. — М.: На­ука, 1974.

6. 
   Успенский В. А. Треугольник Паскаля. Серия «Популярные лекции по
   

математике» — Вып. 43. — М.: Наука, 1979.

7. 
   Аврамов А. Арифметические прогрессии в треугольнике Паскаля //
   

Квант, №11. 1980.

8. 
   Бендукидзе А. Треугольник Паскаля // Квант, № 10. 1982.
   
9. 
   Бендукидзе А., Сулаквелидзе А. Вычисление сумм // Квант, № 9. 1970.
   
10. 
    Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е // Квант, № 8. 1979.