«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

§4. Содержание теоретического материала темы «Показательные 
уравнения и неравенства» в учебниках разных авторов 
Если сравнить программы базового и профильного уровней в рамках 
темы «Показательные уравнения и неравенства», то можно отметить, что 
различия содержания, обязательных умений учащихся обусловлены 
различием целей профильного и базового уровня обучения математике. 
Требования к знаниям учащихся на базовом уровне: решать 
показательные уравнения вида 
(где d можно представить в виде 
степени с основанием a) и неравенства вида 
( ) (где d можно 
представить в виде степени с основанием a); решать простейшие уравнения 
методом замены; решать несложные показательные уравнения, неравенства и 
их системы.
Требования к знаниям учащихся на профильном уровне: овладеть 
основными типами показательных уравнений и неравенств и стандартными 
методами их решений и применять их при решении задач; свободно 
определять тип и выбирать метод решения показательных уравнений и 
неравенств, их систем; решать уравнения и неравенства усложненной 
структуры; решать уравнения и неравенства смешанного типа, совмещающие 
в себе тригонометрические, логарифмические и показательную функцию.
Содержание 
материала 
темы 
«Показательные 
уравнения 
и 
неравенства» на базовом и профильном уровнях различается глубиной 
изучения материала. На изучение показательных уравнений и неравенств на 
базовом уровне отводится в общей сложности 4-5 часов, в профильном 
классе – 6-8 часов [15]. Начинают изучение данной темы с показательной 
функции и ее свойств. Простые показательные уравнения и неравенства 
изучают в 10 или 11 классе, в зависимости от учебного пособия. Более 

---

27 
сложные уравнения, неравенства и системы, содержащие показательные 
уравнения и неравенства, в 11 классе. При этом рассматриваются только 
некоторые методы решения уравнений и неравенств.
Таблица 4 
Сравнение содержания образовательных программ базового и 
профильного уровней по теме «Показательные уравнения и неравенства» 
Содержание
 
Характеристика основных видов деятельности ученика 
 
Базовый уровень
 
Профильный уровень
 
Показательная 
функция, ее 
свойства и график
 
- по графикам показательной функции описывать её свойства 
(монотонность, ограниченность); 
- приводить примеры показательной функции (заданной с помощью 
формулы или графика), обладающей заданными свойствами 
(например, ограниченности); 
- разъяснять смысл перечисленных свойств.; 
- применять свойства показательной функции при решении 
прикладных задач. 
- 
анализировать 
поведение 
функций на различных участках 
области определения; 
 
- 
анализировать 
поведение 
функций на различных участках 
области определения, сравнивать 
скорости возрастания (убывания) 
функций;
- формулировать определения 
перечисленных свойств;
 
Показательные 
уравнения и 
неравенства 
- решать простейшие показательные уравнения, неравенства и их 
системы; 
 
- 
решать 
показательные 
уравнения, неравенства и их 
системы повышенного уровня 
сложности методами разложения 
на множители, способом замены 
неизвестного, с использованием 
свойств 
функции, 
решать 
уравнения, 
сводящиеся 
к 
квадратным, 
задания 
с 
параметром.
Перед тем, как начать решать показательные уравнения и неравенства, 
обучающиеся знакомятся с показательной функцией, ее свойствами, 
графиком. Не имея представления о показательной функции сложно 
представить изучение материала по решению показательных уравнений и 
неравенств.
А.Н. Бекаревич [15] считает, что для того чтобы избежать 
противоречий в школьном курсе математики, достаточно несколько изменить 

---

28 
определение показательной функции. Оно может быть сформулировано так: 
«Показательной функцией от независимого переменного х называют 
функцию вида y=
, где а – данное число, причем если х принимает дробные 
значения с четными знаменателями, то соответствующие значения корня 
считаются арифметическими». 
Таким образом, можно выделить следующие основные подходы к 
изучению темы «Показательные уравнения и неравенства»: 
– классический, использующий показательную функцию как 
вступление к разъяснению решений показательных уравнений и неравенств; 
– прикладной, ориентированный на решение задач, связанных с 
исследованием функции.
Рассмотрим несколько учебников, которые рекомендованы на данный 
момент 
[71].
Таблица 5
представляет перечень учебников, ориентированных на 
прохождение базового и углубленного уровней [71], который включает 
рекомендованные учебники за исключением учебников под редакцией В.В. 
Козлова [36, 37], которые отсутствуют в свободном доступе. 
Очевидно, что учебники одного автора, разделенные на курсы 10 и 11 
классов необходимо рассматривать целостно. 
Рассматривая тему «Показательные уравнения и неравенства» в 
процессе изучения курса алгебры необходимо выделить следующие вопросы 
анализа учебников: 

подход к изучению показательной функции;

описание свойств показательной функции; 

наличие примеров использования вводимых понятий в прикладных 
областях; 

изучение материала в рамках 10-го или 11-го класса;

изложение методов решения показательных уравнений и неравенств. 

---

Таблица 5