«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

§9. Прикладной аспект обучения показательным уравнениям и 
неравенствам в школьном курсе математики 
Показательная функция, а, следовательно, показательные уравнения и 
неравенства, широко используется в различных отраслях науки и техники 
таких, как: физика, медицина, социология, математика, биология, а также 
используется при решении некоторых задач, связанных с судовождением. 
Множество явлений природы выражаются посредством показательной 
функции. Например, такие процессы, как, размножение живых организмов, 
процесс радиоактивного распада.
Для 
ясного 
понимания 
важности 
показательной 
функции, 
показательных уравнений и неравенств целесообразно привести пример из 
жизни. Любой человек мог наблюдать ситуацию, в которой, при снятии 
кипящего чайника с огня вначале происходит его быстрое остывание, а затем 
остывание замедляется (причем значительно). Суть процесса состоит в том, 
что скорость остывания является пропорциональной разности температуры 
чайника 
и 
температуры 
окружающей 
среды. 
При 
уменьшении 
вышеуказанной разности уменьшается и скорость остывания чайника. Если 

---

72 
начальная температура чайника составляла 
, а температура воздуха была 
равна 
, то через 
секунд закон изменения температуры чайника будет 
выражаться формулой: 
( 
)
, где 
- числовой 
коэффициент, который зависит от материала, из которого сделан чайник, 
формы чайника, а также количества воды, которое содержится внутри 
чайника. 
Тема «Показательная функция» относится к основным при изучении 
таких 
тем 
физики, 
как, 
«Термодинамика», 
«Ядерная 
физика», 
«Электромагнетизм», «Колебания». Задачи, как правило, сводятся к 
составлению и решению показательного уравнения или неравенства. Один из 
таких примеров связан с падением тел. Как известно, при падении тел в 
безвоздушном пространстве наблюдается непрерывное возрастание их 
скорости. При падении тел в воздушном пространстве также происходит 
увеличение скорости падения, однако, при этом она не может превосходить 
некоторой определенной величины.
Существует известная задача о падении парашютиста. Если условиться, 
что сила сопротивления воздуха является прямо пропорциональной скорости 
падения парашютиста, то есть: 
, где - коэффициент 
пропорциональности (числовой), то через интервал в 
секунд скорость 
падения будет составлять: 
(
) (
), где является массой 
парашютиста. Через определенный временной интервал значение 
достигнет очень малой величины и падение может считаться практически 
равномерным. На величину коэффициента пропорциональности 
оказывают влияние размеры парашюта.
Следует отметить, что использование вышеприведенной формулы 
целесообразно не только при исследовании падения парашютиста, но и при 
изучении падения, например, пушинки, капель дождевой воды и т.д. 

---

73 
Другой пример из физики касается изменения атмосферного давления 
в соответствии с высотой   над уровнем моря, который можно описать по 
следующей формуле: 
 
, где 
- атмосферное давление над уровнем 
моря; 
- некоторая постоянная. При создании вакуума конечное давление
в определенной емкости связано с начальным давлением 
в соответствии 
со следующим выражением: 
(
)
, где 
- объем газа, который 
необходимо откачать; 
- объем газа, который откачивается за один шаг 
насоса; 
- количество шагов поршня насоса за единицу вакуумирования; - 
время, в течение которого производится вакуумирование. 
С помощью показательной функции можно выразить ток 
самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения, 
зависимость давления воздуха от высоты подъема и т.д. 
Если рассмотреть область медицины, то пример использования 
показательной функции связан со сферой диагностики заболеваний. В 
процессе диагностики почечных заболеваний достаточно часто выполняется 
определение способности почек к выводу из крови радиоактивных изотопов, 
причем их количество в крови падает (уменьшается) в соответствии с 
показательным законом. 
Показательная функция описывает один из процессов социологии, 
такой как рост народонаселения. Как известно, изменение численности 
населения в стране на небольшом интервале времени можно описать в 
соответствии со следующей формулой: 
, где 
- число людей на 
момент времени 
; - число людей на момент времени ; - константа; 
. 
Далее приведен ряд других типичных примеров использования 
показательной функции в области биологии. 
Число бактерий 
в определенной среде за время определяется в 
соответствии с формулой 
, где 
является начальным 
количеством бактерий; 
и являются некоторыми постоянными. 

---

74 
В питательной среде время деления бактерии кишечной палочки 
составляет 20 минут. Очевидно, что общее количество бактерий за каждый 
час увеличивается в 8 раз. Если в начале процесса существовала одна 
бактерия, то через 
часов их количество
будет составлять
: 
( )
. 
Будущим экономистам важно уметь производить расчеты по 
банковским процентам, необходимым для расчета ежемесячного платежа по 
кредитованию. Навык выражения и применения формул для решения таких 
задач может быть отработан на уроках алгебры и начала анализа как раз в 
рамках рассматриваемой темы [77].
Далее приведем примеры прикладных задач из различных областей 
науки, которые могут быть мотивирующими при изучении темы 
«показательная функция».