«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

Задача 10.1. Решить уравнение
.
Решение: 
откуда: . Ответ: 7. 
Задача 10.2. Решить уравнение 
.
Решение: 
,
. Ответ: 9.
Задача 10.3. Решить уравнение: 
(
)
. 
Решение: 
– – – – – . Ответ: 11. 
Задача 10.4. Решить уравнение: 
(
)
. 
Решение: 
– ( – ) – – – – Ответ:3. 
Блок показательных уравнений для базового уровня второго уровня 
сложности. 
Задача 10.5. Найдите корень уравнения 
. 
Решение: Перейдем к одному основанию степени: 
Ответ:
Задача 10.6. Решим уравнение 
Так как 
то уравнение может переписаться в 
виде 
( ) или в виде
Очевидно, что уравнения 
имеют единственный корень 
Ответ: 2. 
Задача 10.7. Решим уравнение 
Так как 
для любого числа , то уравнение можно переписать в виде 
( (
)
) откуда видно, что корни уравнения совпадают с 

---

79 
корнями уравнения 
(
)
Уравнение можно переписать в виде 
(
)
(
)
. Так как уравнение имеет единственный корень
то и 
равносильное ему уравнение имеет единственный корень 
. Ответ: 2. 
Задача 10.8. Решить уравнение 
. 
Решение: 
;
;
(
) ;
Задача 10.9. Решить уравнение 
. 
Решение: 
;
;
( ) ; 
; 
Задача 10.10. Решить уравнение 
. 
Решение: 
;
;
( ) ;
; 
Задача 10.11. Решить уравнение 
. 
Решение: 
;
; 
;
Задача 10.12. Решить уравнение 
. 
Решение: Данное уравнение равносильно уравнению
Ответ: 3. 
Задача 10.13. Решить уравнение 
√ . 
Решение: 
; ( )
( )
. Ответ: -1; 7. 
Задача 10.14. Решить уравнение 
(
)
(
)
. 
Решение: 
(
)
(
)
( )
;
. Ответ: 1; 4. 
Задача 10.15. Решить уравнение 
(
)
(
)
. 

---

80 
Решение: 
(
)
(
)
(
)
Ответ: . 
Задача 10.16. Решить уравнение 
. 
Решение: Вынося в левой части уравнения за скобки 
, получим 
(
)
( )
 
 Ответ: 3. 
Задача 10.17. Решить уравнение 
. 
Решение: 
( 
)
Ответ: 4. 
Задача 10.18. Решить уравнение 
. 
Решение: Данное уравнение имеет вид 
. Пусть
, тогда
и для определения получим квадратное уравнение 
имеем: 
)
)
. Ответ: 0,1. 
Блок простейших показательных неравенств для базового уровня 
первого уровня сложности. 
Задача 10.19. Установить соответствие между решениями и 
неравенствами:
)
) ( ]
)
) [ ) 
)
) ( ]
)
) [ ) 
)
: представим 4 в виде степени с основанием 2.
. Неравенство 
примет вид: 
. Основания степеней одинаковы, следовательно, 
степени соотносятся так же. 
то есть, [ ) – вариант под номером 2. 
Б) Число 0,5 можно представить как
, значит (
)
( 
)
Неравенство примет вид: 
. Основания степеней одинаковы, 
следовательно, степени соотносятся так же. 
. Если умножить и 

---

81 
правую и левую часть неравенства на 
, то знак изменится на 
противоположный 
, то есть, ( ] – вариант под номером 1. 
В) Аналогично с вариантом Б. Число 0,5 можно представить как
, 
значит (
)
( 
)
. Неравенство примет вид:
. 
Основания степеней одинаковы, следовательно, степени соотносятся так же 
. Если умножить и правую и левую часть неравенства на , то знак 
изменится на противоположный 
, то есть, [ ) – вариант под 
номером 4. 
Г) Представим 4 в виде степени с основанием 2:
. 
Неравенство примет вид: 
. Основания степеней одинаковы, 
следовательно, степени соотносятся так же 
и ( ] – вариант под 
номером 3. 
Ответ: 2,1,4,3.
Задача 10.20. Установить соответствие между решениями и 
неравенствами 
А) 
( ];
Б)
[ ) 
В)
( ]
Г)
[ ). 
Рассмотрим первое неравенство: 
, представим 4 как
, тогда: 
, 
. Остальные неравенства решаются аналогичным образом, достаточно 
вспомнить, что 
; 
;
; 
; . Ответ: 
. 
Блок показательных неравенств для базового уровня второго уровня 
сложности. 
Задача 10.21. Решить неравенство 
. 
Решение: Преобразуем неравенство: 
Так 
как 
Рис.10 Решение неравенства 

---

82 
Ответ: 
( 
)
Задача 10.22. Решить неравенство 
( )
Решение: 
( )
( )
. Так как 
Последнее неравенство решаем методом интервалов 
. Ответ: (
)