«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

§12. Методические рекомендации обучения показательным
уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики 
Знания свойств показательной функции активно используются при 
решении показательных уравнений и неравенства, поэтому без данной базы 
усвоение темы «Показательные уравнения и неравенства» сложно 
представить. Поэтому перед изучением темы, есть смысл предложить 
учащимся порешать задания на уже полученные знания по теме 
«Показательная функция» для закрепления изученной темы и введения новой 
темы. Необходимо сразу сформировать навык использования свойств 
показательной функции.
Возникает 
необходимость 
напомнить 
о 
равносильности 
(неравносильности) 
осуществляемых 
преобразований 
при 
решении 
уравнений и неравенств. Для успешного решения показательных уравнений и 
неравенств 
смешанных 
типов 
учащимся 
необходимо 
вспомнить 
тригонометрическую и логарифмическую функции. Учащиеся должны 
хорошо знать основные действия со степенями для изучения данной темы.
Следующей возможной причиной, по которой возникают сложности с 
усвоением темы у учащихся, является многообразие задачного материала по 
данной теме. Довольно часто учащийся не может четко систематизировать 
свои знания и выстроить четкий алгоритм решения задачи. Если обобщить и 
сформировать некоторую последовательность действий при решении задач, 
возможно, учащимся будет легче структурировать работу.
Как уже было рассмотрено ранее простейшие показательные уравнения 
и неравенства решаются с использованием методов приведения к 

---

104 
одинаковому основанию, вынесения общего множителя за скобки и 
приведение показательного уравнения и неравенства к квадратному. Таким 
образом, приступая к решению уравнения или неравенства, учащиеся 
должны проанализировать, можно ли привести уравнение или неравенство к 
степени с одинаковым основанием, получить квадратное уравнение или 
неравенство. Если это возможно, то учащиеся получают простейший вид и 
без труда смогут получить результат. Было бы полезным обратить внимание 
учащихся на некоторые отличительные особенности и дать полезные 
рекомендации. Например, метод вынесения общего множителя успешно 
используют тогда, когда при вынесении за скобки степени с переменным 
показателем, мы получаем алгебраическую сумму в скобках, которая 
является определенным числом или выражением. Например: 
. Преобразовав, получим
( ) . Данный способ в итоге 
приводит нас к простейшему виду степеней с одинаковыми основаниями. 
Что касается приведения к квадратному уравнению или неравенству, то 
здесь можно рассматривать несколько вариантов. К такому виду 
относительно новой переменной t сводятся: 
подстановкой
= t, при этом 
; 
подстановкой 
= t, при этом 
; 
с предварительным 
делением обеих частей на 
и подстановкой 
(
)
= t. Данный способ 
приводит уравнение или неравенство к виду со степенями с одинаковым 
основанием.
Используя данный подход к решению показательных уравнений и 
неравенств учащийся сможет решить любое показательное уравнение, 
неравенство или систему базового уровня, при условии наличия базовых 
знаний для работы с уравнениями, неравенствами и степенями.
Чуть сложнее дело обстоит со смешанными показательными 
уравнениями 
и 
неравенствами, 
где 
могут 
присутствовать 
тригонометрические или логарифмические функции. Но, как правило, такие 

---

105 
задачи только выглядят сложно, а на самом деле представляют из себя такие 
же показательные уравнения и неравенства, только с большим количеством 
необходимых предварительных преобразований. Для успешного решения 
учащимися таких задач необходимо обратить их внимание на несколько 
аспектов. Первое, что необходимо помнить, что, решая уравнение, всегда 
необходимо анализировать ОДЗ (в том числе ОДЗ логарифма в смешанных 
задачах, где он фигурирует). Далее, необходимо проанализировать, можно ли 
привести уравнение или неравенство к простейшему виду с помощью 
равносильных преобразований с использованием свойств степеней. Если это 
возможно, то приводим уравнение или неравенство к уже стандартному виду. 
В случае если данный прием не приводит к стандартному виду, то переходим 
к следующим действиям. Если члены уравнения или неравенства 
представляют собой степени с одинаковыми показателями, но различными 
основаниями, то такое выражение можно попытаться привести к 
простейшему с помощью деления на одно и то же число или выражение (в 
большинстве случаев это деление на степень с большим показателем). Здесь 
нужно помнить о возможной смене знака неравенства и ОДЗ. Возможно, 
используя данный прием, удастся привести уравнение или неравенство к уже 
известному виду. Например, уравнение 
можно