«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

Задача 11.3. Решить неравенство 
. [60] 
Рис. 17 Таблица значений. 

---

100 
Решение: Сгруппируем 
( 
)
( 
) ; ( 
)( 
)
. По свойству монотонности функций y= 
и 
y=
, можно сделать вывод, что в точках, где 
множители 
( 
) ( 
) обращаются в 
ноль, то есть при х=0 и х=2 соответствующие выражения меняют знак. Таким 
образом можем найти ответ 
Ответ: 
( ). 
Следующий тип задач – это уравнения и неравенства, где в основании 
степени присутствуют иррациональные числа. Решения данного типа задач 
базируются на знании и использовании некоторых свойств иррациональных 
чисел. Для успешного решения таких задач необходимо знать определение: 
«Два иррациональных числа вида 
√ и √ называются 
сопряженными». Следующее, что необходимо помнить, это свойство 
сопряженных чисел, которое основано на формуле сокращенного умножения 
«разность квадратов»:
( √ )( √ )
. Данное свойство 
позволяет избавится от иррациональности. И, наконец, третье свойство, 
которое используется при решении таких задач: каждое из сопряженных 
чисел можно представить в виде степени с основанием, равным второму 
сопряженному числу, если их произведение равно 1. Например: 
(
√ )( √ ) , => ( √ )
( √ )
( √ )
. 
Преобразование 
подкоренного 
выражения, 
представленного 
иррациональным числом к виду квадрата разности или суммы, также часто 
является полезным при решении таких задач. Приведем пример: 
√
можно представить в виде 
( √ )
. По свойству 
√ 
и определению 
модуля 
получим: 
√ √ √( √ )
| √ | √ . 
Рассмотрим задачу данного типа. 
Задача 11.4. Решить неравенство 
( √ )
( √ )
.
Рис. 18 Числовая прямая. 

---

101 
Решение: Заметим, что основания степеней – сопряженные числа и их 
произведение равно 1: 
( √ )( √ ) . Получаем: ( √ )
( √ )
( √ )
. Преобразуем исходное неравенство:
( √ )
( √ )
. 
Функция y=
( √ )
возрастающая => 
√ => можем привести 
неравенство к виду: 
; 
; 
; 
( )( )
; [ ) [ ). Ответ: [ ) [ ). 
Интересно рассмотреть нестандартные задачи, связанные с 
прогрессиями. Задания такого типа требуют понятие прогрессии и умений 
решать показательные уравнения смешанного типа.