«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

Задача 11.5. Даны три первых члена арифметической прогрессии: 
(
) ,
(
),
(
), требуется найти сумму 
пяти первых членов арифметической прогрессии. [56]
Решение: 
(
),
(
),
(
). По свойству арифметической прогрессии
, => 2
(
)
(
)
(
). 
Найдем 
ОДЗ: 
{
{
( 
)
Преобразовав исходное выражение получим: 
(
)
((
) (
));
(
)(
);
( 
)
( 
)
( 
)
;
{
. Отсюда 
– не удовлетворяет ОДЗ.
– удовлетворяет 
ОДЗ, => 
. Тогда
,
,
. Разность 
арифметической прогрессии равна d=
. 
Тогда 
. 
Ответ: S=0. 
Традиционно считаются сложными задания с параметром. Рассмотрим 
задачи на нахождение значений параметра по заданному количеству корней. 

---

102 
Несмотря на то, что они имеют четкий алгоритм решения, они вызывают 
трудности у учеников [25]. Приведем примеры заданий данного типа. 
Задача 11.6. При каких значениях параметра a уравнение 
( ) 
будет иметь один корень. 
Решение: Начнем с замены 
. ( 
)
=> 
. После замены 
получим квадратное уравнение 
( ) . Здесь нас будут 
интересовать только положительные корни. 
( )
4( )
( )
. Так как , то уравнение имеет один или два 
корня. Рассмотрим первый случай 
: необходимо чтобы
, 
так как в данном случае уравнение будет иметь корень, что соответствует 
условию. 
при a=5, при a=5 имеем t=4. Так как корень положительный, 
то исходное уравнение имеет один корень при a=5. Второй случай 
: 
( )
– это верно при всех значениях кроме а=5. Тогда квадратное 
уравнение, полученное после замены имеет два корня. По теореме Виета 
{
. Чтобы исходное уравнение имело один корень необходимо 
выполнение одного из двух условий. Первый вариант: один из корней 
квадратного уравнения 
, второй . В этом случае необходимо и 
достаточно, чтобы 
, , что удовлетворяет 
условию 
. При
уравнение
( ) будет иметь 
один корень 
=>
( ) 
будет иметь один корень. 
Во втором варианте, один корень 
, второй = 0. Это условие будет 
выполнено в случае:
{
{
{
, то есть при 
, что удовлетворяет . Получаем, что в данном варианте исходное 
уравнение будет иметь один корень. Получаем: 
, , а=5. Ответ: 
( ] [ ]. 
Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что нестандартные 
задачи по теме «Показательные уравнения и неравенства» вызывают 

---

103 
трудности чаще всего не по причине их объективной сложности, а по 
причине недостаточного или полного отсутствия их в рамках учебного курса.
Решение нестандартных задач развивает интеллектуальные и творческие 
способности учащихся, повышает уровень усвоения материала по изучаемой 
теме.