«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

 
Блок показательных уравнений третьего уровня сложности для 
профильного уровня
Задача 10.42. При каких значениях 
уравнение
имеет один корень.
Решение: Уравнение имеет один корень, если квадратное уравнение 
, этот корень положительный, если квадратное уравнение 
имеет два корня, эти корни имеют разные знаки при 
корней не имеет, 
при 
имеет один корень.  
Задача 10.43. «а) Решить уравнение 
(
)
б) Найдите все корни на промежутке 
[
]
Решение: а)
(
)
( ) [
[
б) Выборка корней. Будем искать строго положительные корни. Из серии 
При 
Дальнейшие поиски корней из данной серии смысла не имеют. 

---

90 
Из серии 
При
(неравенство 
очевидно). 
(неравенство очевидно).
Дальнейшие поиски корней из данной серии смысла не имеют. 
Итак: 
Ответ: а) 
)
» [62]
Задача 10.44. «а) Решить уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
[ 
]
Решение: а) 
[ 
[
[
б) 
Ответ: (
)
)
» [62]
Задача 10.45. Дано уравнение (
)
(
)
а) Решить уравнение б) Найдите все корни на промежутке 
[ 
]
Решение: а) последовательно получаем: (
)
(
)
( ) [
[
б) Найдем искомые корни с помощью двойных неравенств. Решим 
неравенства относительно целых 
. Из серии корней

---

91 
Из серии корней
Ответ: 
)
)
Задача 10.46. Дано уравнение 
а) Решить уравнение б) Найдите все корни на промежутке 
[
]
Решение: а) последовательно получаем: 
[
[
б) 
[
]
Докажем, что корень 
[
], для чего 
достаточно доказать неравенство 
В ходе доказательства мы будем пользоваться следующими известными 
фактами: 1)
2) Для любых двух 
различных положительных чисел их про изведение меньше квадрата 
полусуммы этих же чисел 
(
)
(
)
(
(( )( ))
)
(
(
)
)
. Из полученного ясно: 
(
) , откуда:
(
)
(
(
)
)
И при этом будет выполнено 
равенство:
. А это означает, что
Ответ: 
)
)
Блок показательных неравенств для профильного уровня первого 
уровня сложности 
Задача 10.47. Решите неравенство: 

---

92 
Решение: 
. Ответ: [ ]