Metrik fazolar Tarif

Misollar va yechimlari

1. 
   Mayli bo`lsa , unda metrika bolishini isbotlang.
   

Yechim. Metrika aksiomalarini tekshiramiz

1. 
   aniq
   
2. 
   aniq
   

v) aniq

g) ni tekshiramiz

Bizga ma`lum

, va

Shunday qilib 4 holatda ko`rib chiqamiz

1-holat , demak

2-holat , demak

3-holat bunda ikkita holat bor

3a-holat ni tekshiroshimiz kerak

unda unda .

Shart boyicha , demak bundan ,

demak, va, bundan kelib chiqadi

3b-holat

bolsa, ni tekshirish kerak , bolsa , u aniq.

4-holat , bolsa va

Qolgan barcha holatlarda uchburchaklik aksiomasi bajaraladi.

Shunday qilib funksiya metrika bo`ladi.

Mayli bosh bo`lmagan to`plam, funksiya quydagi shartlarni bajarsa.

a)

b) (uchburchak aksiomasi)

funksiyaning da metrika bo`lishini isbotlang.

Yechim. b) shartlarga asosan , bo`lsa , a) , bolsa .

Shartlarning teskarisini tekshiramiz

Mayli bu shart b) shartlar asosida , bo`lsa

a). Bu tengsizlik to`g`rib o`ladiga har qanday juftlik uchun tenglik ha o`rinli. Demak simmetriklik sharti tekshirildi.

Mayli da -uzluksiz differensiallanuvchi funksiya bo`lsin va quydagi shartlarni qanoatlantitrsin.

1. 
   va bo`lsa
   
2. 
   bo`lsa kamaymaydi
   
3. 
   bolsa o`smaydi
   

da metrikani fomula bilan aniqlash mumkinligini isbotlang.

Yechim. bizga malumki nomanfiylik, ayniylik va simmetrik aksiomalari bajariladi. Uchburchaklik aksiomasini bajarilishini ko`rsatish uchun hohlagan uchun tensizlikni bajarilishini ko`rsatish kifoya.

Haqiqatan ham shart bajariladi b) ga ega bo`lamiz, uchburchaklik aksiomasini ko`rsatish uchun ni isbotlash kifoya.

nuqtalrni quydagicha aniqashimiz mumkin , bunda , .