Microsoft Word matematik modellashtirish

TEKSHIRDI: _______________________

MAVZU: Gidromexanik o‘xshashlik kriteriylari

REJA:

1. 
   O’xshashlik nazariyasi asoslari va modellashtirish principlari
   
2. 
   Fizik modellashtirish
   
3. 
   Matematik modellashtirish
   
4. 
   Xulosa
   
5. 
   Foydalanilgan adabiyotlar
   

Birinchi teorema. O’xshashlik kriteriylariga kiruvchi hamma kattaliklar tajriba davrida o’lchanishi kerakligini taqozo etadi.

Ikkinchi teorema. Bekingem, Feredman va Afanasьeva – Erenfest olimlar guruxi tomonidan kashf etilgan. Ushbu teoremaga binoan, tajriba natijalari kriteriylar orasidagi bog’liklik ko’rinishida ifodalash kerak.
O’xshashlik kriteriylari o’rtasidagi funkcional bog’liklik kriterial tenglama deb nomlanadi.
Kriterial tenglamalar hamma o’xshash jarayonlar guruxini ifodalaydi. Kriterial tenglama ko’rinishi tajriba yo’li bilan aniqlanadi. Ko’pchilik holatlarda ushbu tenglama darajali bog’liklik ko’rinishida bo’ladi.
Uchinchi teorema. M.V.Kirpichev va A.A. Guxmanlar tomonidan kashf etilgan. Ushbu teoremaga binoan, kriterial tenglamalarni faqat o’xshash jarayonlarga qo’llash mumkin.
Agar hodisalarni aniqlovchi kriteriylar son jihatdan teng bo’lsa, unda albatta o’xshash xodisalarda aniqlanayotgan kriteriylar ham tengdir. SHunday qilib, o’xshashlik nazariyasi usullarini qo’llabjarayonlarni o’rganish quyidagi bosqichlardan iborat:
1. Jarayonning to’liq matermatik ifodasini olish, ya’ni differencial tenglama tuziladi va bir xillik shartlari aniqlanadi, uni echimi o’zgartiriladi va o’xshashlik kriteriylari topiladi.
2. Modellarda tajribalar asosida o’xshashlik kriteriylari orasidagi bog’liqlik aniqlanadi. Olingan ummumlashtiruvchi hisoblash tenglamasini o’xshash jarayonlarni hisoblashda qo’llash mumkin.
Asosiy jarayonlarni hisoblashda bir necha xil o’xshashlik kriteriylari ishlatiladi va ular o’rganilayotgan jarayonni ifodalovchi o’lchamsiz fizik kattaliklardir. O’xshashlik kriteriylari 3 guruhga bo’linadi:

• gidromexanik o’xshashlik kriteriylari;

  
  

• issiqlik o’xshashlik kriteriylari;

  
  

• diffuzion o’xshashlik kriteriylar

  
  

Jarayonlarni tahli qilish va hisoblash uchun tenglamalarni keltirib chiqarish maqsadida ularni nazariy usulda amalga oshirsa bo’ladi.
Ushbu yo’l eng qulay bo’lib, jarayonlarni iavsiflovchi matematik tenglamalar (ko’pincha differencial) tuzish va ularni echishdan iboratdir.
Bir turdagi butun bir sinfga oid hodisa va voqealarni differencial tenglamalar ifoda etadi. Ushbu sinfdan biror aniq bir hodisa yoki voqeani ajratib olish uchun differencial tenglama qo’shimcha shartlar (bir xillik shartlari) bilan chegaralanadi.
Bir xillik shartlari o’z ichiga quyidagilarni qamrab olgan: geometrik shakl va sistema qurilma o’lchamlarini; jarayonni olib borish shartlari, ya’ni moddalar fizik o’zgarmas kattaliklarini; boshlang’ich shartlari, ya’ni boshlang’ich tezlik, temperatura, koncetraciya va hokazo; sistema chegarasida holatni xarakterlovchi chegaraviy shartlari, masalan, truba devori yaqinida tezlikning nolga tengligi.
Lekin oziq-ovqat texnologiyasining aksariyati juda murakkab va o’zgaruvchi parametrlar ko’pligi bilan xarakterlanadi.shuning uchun, qo’pincha faqat masalaning matematik va bir xillik shartlar ifodasini olish mumkin. Olingan differencial tenglamalarni matematikada ma’lum usullar bilan echib bo’lmaydi.
Turbulent oqimlarda issiqlik va massa almashinish jarayonlarini nazariy o’rganishda ham xuddi shunday qiyinchiliklar bor.
Undan tashqari, xattoki murakkab jarayonlarni ifodalovchi differencial tenglamalar sistemasini ham tuzib bo’lmaydi.
SHunday qilib, qurilmani loyihalash uchun zarur hisoblash tenglamalarini nazariy keltirib chiqarish imkoniyati yo’q. Bunday xolatlarda tajriba o’tkazish yo’li bilan jarayonni xarakterlovchi kattaliklar orasidagi bog’liqlik aniqlanadi.
Olingan tajriba ma’lumotlari asosida empirik tenglamalar keltirib chiqariladi. Ushbu tenglamalar xususiy xarakterga ega bo’lib, ulardan faqat aniq sharoitlarda foydalanish mumkin. Odatda empirik tenglamalar ma’lum qadr-qiymatga ega va ularni muxandislik hisoblashlarda qo’llaniladi.
Lekin har qanday murakkab jarayonni tadqiqot qilish vaqtida umumiy bo’lgan qonuniyat va tenglamalarni keltirib chiqarish kerak. Ular yordamida biror xususiy tajriba natijalarini boshqa jarayonlarni xam tekshirishga qo’llash imkoniyati bo’lsin. SHu maqsadga tajriba natijalarini qayta ishlashda, o’xshashlik nazariyasi usularini qo’llash orqali erishish mumkin O’xshashlik nazariyasi katta amaliy axamiyatga ega. Ushbu nazariya yordamida katta o’lchamli sanoat qurilmalarida tashkil etiladigan murakkab jarayonlar o’rniga kichik o’lchamli modellarda tajribalar o’tkazish imkoni tug’iladi. Bunda tekshirilayotgan jarayonlarni olib borish sharoiti birmuncha o’zgartiriladi: temperatura va bosim pasaytiriladi, ish muhitlari almashtiriladi. Ammo jarayonning fizik mohiyati o’zgartirilmaydi. SHunday qilib, o’xshashlik nazariyasining uslublari kimyoviy texnologiya jarayonlarining o’lchamlarini o’zgartirish va ularni modellashtirish ishiga asos bo’lib xizmat qiladi.
Modellashtirish — mavjud yoki tashkil qilinishi lozim bo’lgan ob’ekt (original)ning shunday o’rganish usuli bo’lib, bunda asl ob’ekt o’rniga uning o’rnini bosish mumkin bo’lgan boshqa ob’ekt—model o’rganiladi, olingan natijalar esa originalni hisoblashda foydalaniladi. Modellashtirishning asosiy maqsadi modelda o’lchab olingan parametrlar asosida ishlab chiqarish sharoitidagi originalda yuz berishi mumkin bo’lgan holatni oldindan aniqlab berishga qaratiladi.
Ilmiy-texnika taraqqiyotining hozirgi bosqichida ishlab chiqarishga tatbiq qilinayotgan jarayonlarning deyarli ko’pchiligi juda murakkabdir. SHu sababli ilmiy tadqiqot ishlarini olib borish ancha qiyinlashgan, olingan natijalar esa juda tez eskirib qolishi mumkin. Bunday sharoitda vaqt hal qiluvchi ahyamiyatga ega.
Modellashtirish qonuniyatlaridan foydalanilgan taqdirda yangi jarayonlarni ishlab chiqarishga joriy qilish vaqti birmuncha qisqaradi, belgilangan maqsadlarni oddiy usullar yordamida hal qilinishiga erishiladi. Modellashtirishda quyidagi shart-sharoitlar bajarilishi kerak:
a) modelda o’tkaziladigan tajribalar qisqa vaqtda olib borilishi, bu tajribalar esa originaldagiga nisbatan oddiy, qulay arzon va xavfsiz bo’lishi zarur;
b) bir ma’noli qoidalar — algoritmlar ma’lum bo’lishi kerak, bu algoritmlar yordamida modeldagi sinov natijalari asosida originalning parametrlari hisoblaniladi;
v) modelning tarkibi, tuzilishi va vazifasi modellashti­rishning asosiy maqsadlariga to’g’ri kelishi kerak, chunki hech bir model originalni to’la holda qaytarishi qiyin.
Ushbu ko’rsatilgan talablarni bajarish uchun jarayonlarni modellashtirishda asosiy o’xshashlik shart-sharoitlariga rioya qilish kerak. Umuman olganda, modellarni yaratish o’xshashlik qoidalari va o’xshashlikning uchta teoremasiga asoslanadi.
Hozirgi kunda modellashtirish nazariyasi asosan ikki xil yo’nalishda rivojlanmoqda: 1) fizik; 2) matematik modellashti­rish.
Fizik modellashtirishning mazmuni shundan ibratki, model original bilan bir xil tabiatga ega bo’ladi va uning xususiyatlarini qaytaradi. Masalan, sanoat pechida metalldan tayyorlangan katta valni qizitish jarayoni (original) o’rniga laboratoriya sharoitida (ya’ni modelda) boshqa metalldan qilingan valni qizitish jarayonini tadqiqot qilish. Modelda ushbu valni qizitish jarayoniga fizik parametrlarning hamda model o’lcham-larining ta’siri o’rganiladi. So’ngra modelda olingan natija-lardan originalda yuz beradigan jarayonni hisoblashda va uni tashkil etishda foydalaniladi.
Matematik modellashtirishning asosiy maqsadi texnologiya jarayonining fizik-kimyoviy, gidrodinamik va konstruktiv kattaliklarini o’zaro bog’laydigan tenglamalarni tuzishdan iborat. Matematik modellashtirishda asosan elektron-hisoblash mashinalaridan foydalaniladi.
Kichik qurilmalarning (ya’ni modellarning) o’lchamlarini o’zgartirib katta quvvatli sanoat qurilmalariga o’tishda modellashtirish nazariyasi alohida ahamiyatga ega. Jarayonlarni optimal modellashtirish yangi korxonalarni loyihalash yoki ishlab turgan korxonalarning mukammallash darajasini oshishini ta’minlaydi. Modellashtirish ilmiy usul sifatida kibernetikaning asosini tashkil etadi.
Modellashtirishning xoxlagan usulini qo’llashda ham bir xil ma’noli quyidagi shart-sharoitlar bajarilishi maqsadga muvofiqdir:
a) fizik va matematik modellashtirishda fizik maydonlarning geometrik o’xshashligi ta’minlanishi kerak;
b) fizik yoki matematik modellashtirish uchun vakt bo’yicha o’xshashlik bulishi zarur. Buning ma’nosi shundan iboratki, model va originaldagi jarayonlarda fizik kattaliklarning o’xshashligi ma’lum bir vaqt momentida (ya’ni jarayon boshlanishidan ma’lum vaqt o’tgandan so’ng) yuz beradi;
v) modellashtirishning har bir usulidan foydalanilganda ham fizik kattaliklarning o’xshashligiga erishish zarur;
g) boshlang’ich shart-sharoitlarning o’xshashligi ham mo­dellashtirish uchun juda kerak;
d) o’rganilayotgan hodisalarni to’g’ri tadqiq qilish uchun chegara shartlarining o’xshashligini ta’minlash talab qilinadi.
O’ta murakkab jarayonlarni o’rganishda «pog’onali» modellash­tirish usulidan foydalaniladi. Eng avval juda kichik modellar (mikromodellar) tuziladi. Bunday mikromodellarni laboratoriya stoli ustiga joylashtirish mumkin. Olingan natijalar asosida kattarok model yaratiladi. So’ngra sanoat miqyosidagi qurilmaga o’tiladi. Biroq «pog’onali» modellashtirish bir qator kamchiliklarga ega. Kichik va katta modellardagi jarayonlarni tashkil qilish bir oz qiyin, bundan tashqari ko’p vaqt talab qiladi. Olingan natijalarni modeldan originalga ko’chirish bir necha pog’onali bo’lganligi uchun hisoblashdagi aniqlik kamayadi.
Umuman olganda modellashtirish quyidagi tartibda olib boriladi:
1) o’rganilayotgan jarayon differencial tenglamalar va bir xil ma’noli shart-sharoit qoidalari bilan ifodalanadi;
2) o’xshashlik mezonlari keltirib chikariladi, ularning ichidan aniklovchi mezon ajratib olinadi hamda shu aniqlovchi mezonning boshqa mezonlar bilan bog’laydigan funkcional tenglama tuziladi;
3) model va originaldagi aniqlovchi kriteriylarning o’zaro tengligini hisobga olgan holda har bir fizik kattalik uchun o’xshashlik doimiyliklari yoki konstantalari aniqlanadi;
4) olingan natijalar asosida shunday model tayyorlanadiki, uning ish hajmi sanoat qurilmasining ish hajmiga geometrik o’xshash bo’lishi kerak, model masshtabini tanlashda qurilmaning o’lchami va ish unumdorligi shunday hisobga olinishi kerakki, bunday holatda ish muhitlarining tegishli tezligi, sarfi, temperaturasi va boshqa kattaliklari ta’minlanishi zarur;
5) tajribalar o’tkazishda aniqlovchi mezonlarning uzgarish chegaralari modelda ham, originalda ham bir me’yorda bo’lishi kerak.
Yuqoridagi shartlarni to’la bajarish kimyoviy texnologiya uchun yangi jarayonlar va qurilmalarni yaratish va ularni qisqa vaqtda sanoatga joriy etish imkoniyatini yaratadi O’xshashlik nazariyasi – bu tajriba natijalarini ilmiy umumlashtirish usullari haqidagi ta’limot.
O’xshash jarayonlarda ularni xarakterlovchi va o’xshash bo’lgan kattaliklar nisbati o’zgarmasdir. O’xshashlik nazariyasi qanday tajriba o’tkazish va olingan natijalarni qaysi usul bilan qayta ishlash yo’llarini o’rgatadi.
O’xshashlik nazariyasini modellarda (tajriba qurilmalarida) jarayonning noma’lum kattaliklarini aniqlash, tekshirib qo’rish va olingan natijalarni sanoat qurilmalariga ko’chirishga yordam beradi.
SHunday qilib, masshtablash va modellash asosi bo’lib o’xshashlik nazariya usullari xisoblanadi.

O’xshashlik teoremalari va shartlari

O’xshashlik nazariyasining asosiy principlaridan biri bo’lib, umumiy qonuniyat bilan ifodalanuvchi o’xshash hodisalar (jarayonlar) guruhini ajratib olishdir.
Mos tushadigan va ularni xarakterlovchi kattaliklarning nisbatlari o’zgarmas bo’lgan hodisalar o’xshash deb ataladi.
O’xshashlik shartlariga binoan o’xshash xodisa va voqealar quyidagi guruhlardan iborat: a) geometrik o’xshashlik; b) vaqt bo’yicha o’xshashlik; v) fizik o’xshashlik; g) boshlang’ich va chegaraviy shartlarning o’xshashligi.
Geometrik o’xshalik. Bu shunday o’xshalikki, natura va modellarning mos tushadigan o’lchamlari parallel va ularning nisbati o’zgarmas kattalik bilan ifodalanadi.
Masalan, aylanayotgan cilindr ichidagi gazning harakatini tekshiramiz
Ushbu qurilmadagi jarayonni tekshirish uchun geometrik o’xshashlikka rioya qilib model quriladi ya’ni natura va modelning mos tushadigan chiziqli o’lchamlarining nisbatlari teng.
Geometrik bir xillikka binoan ikkita o’xshash sistemani geometrik o’lchov kattaliklari o’zaro parallel bo’lsa, ularning nisbati ham o’zgarmas bo’ladi O’XSHASHLIK NAZARIYASI — fizik hodisalarning o’xshash sharoitlarini miqdoriy jihatdan tadqiq qilish usullarini ishlab chiqish bilan shug’ullanadigan ta’limot. Fizik o’xshashlik turdosh hodisalar orasidagi muvofiqlikni, ya’ni bir fizik hodisaning barcha miqdoriy ko’satkichlari mutanosib ravishda o’zgartirilishi natijasida hosil bo’lishini bildiradi. O’xshashlik nazariyasining asosiy vazifasi turli fizik hodisalarning o’xshashlik mezonlarini aniqlash va shu mezonlar yordamida hodisalarning o’zini o’rganishdir. Fizik hodisalar, jarayonlar va sistemalar o’xshashligi bir sistema holatini ifodalovchi o’zgaruvchi kattaliklarning vaqtning o’xshash paytlarida fazoning o’xshash nuqtalaridagi qiymatlari boshqa sistemaning xuddi shunday kattaliklariga mutanosib bo’lishiga asoslandi. Kattaliklarning har biriga tegishli mutanosiblik (Proportsionallik) koeffisienti o’xshashlik koeffisienti deyiladi. Fizik o’xshashlik geometriyada biz yaqqol va sodda ravishda ko’radigan geometrik o’xshashlikning umumlashmasidir. Geometrik o’xshashlikda o’xshash figuralar yoki jismlarning o’xshash geometrik elementlari orasida mutanosiblik (o’xshashlik) bo’ladi. Maydonning fizik o’xshashligida ikki sistemaning mos fizik parametrlari fazo va vaqtda o’xshash bo’ladi. Masalan, kinematik o’xshashlikda qaralayotgan ikki harakat uchun tezliklar maydonning o’xshashligi mavjud bo’ladi; dinamik o’xshashlikda esa ta’sir qilayotgan turli tabiatli kuchlar (og’irlik kuchlari, bosim kuchlari, yopishqoqlik kuchlari va shahri o’xshashlik) yoki kuchlar maydonining o’xshashligi amalda bo’ladi; mexanik o’xshashlik (masalan, ikki suyuqlik yoki gaz oqimining, ikki elastik sistemaning o’xshashligi) amalda bo’lishi uchun geometrik, kinematik, dinamik o’xshashlik mavjud bo’lishi kerak; elektrodinamik o’xshashlikda — tok, kuchla- nish, quvvat maydonlarining o’xshashligi bo’lishi kerak. Bu o’xshashliklar fizik o’xshashlikning xususiy ko’rinishidir. Mexanik, issiqlik va kimyoviy hodisalarning majmuidan iborat murakkab fizik va fizikkimyoviy jarayonlarni tadqiq qilishning rivojlanishi munosabati bilan jarayonlar uchun O’xshashlik nazariyasi usullari ham takomillashib bordi, masalan, mashina detallarining ishqalanish va emirilish jarayonlari, fizik-kimyoviy o’tishlar kinetikasi jarayonlari va boshqalar hodisalarning o’xshashlik sharoitlari aniqlanadi. O’xshash hodisalarni ifodalovchi barcha parametrlardan tuzish mumkin bo’lgan barcha o’lchovsiz kombinasiyalar o’xshash hodisalar uchun birday son qiymatlarga ega bo’ladi. Qaralayotgan hodisalarni aniklovchi parametrlardan tuzilgan o’lchovsiz kombinasiyalar o’xshashlik mezonlari deb ataladi. O’xshashlik mezonlaridan tuzilgan ixtiyoriy kombinatsiya ham ko’rilayotgan fizik hodisalar uchun o’xshashlik mezoni bo’la oladi. Agar ko’rilayotgan fizik hodisalar yoki sistemalarda barcha mezonlar emas, ulardan ba’zilari teng bo’lsa o’xshashlik qisman o’xshashlik deb yuritiladi. Ana shunday o’xshashlik amalda eng ko’p uchraydi. Bunday tengligi saqlanmaydigan mezonlarning fizik jarayonlarga ko’rsatadigan ta’siri sezilarli bo’lmasligi yoki ikkinchi darajali bo’lishi kerak. O’xshashlik mezoniga kiruvchi o’lchamli fizik parametrlar o’xshash sistemalar uchun bir-biridan kata farq qiluvchi qiymatlar olishi mumkin, faqat o’lchamsiz o’xshashlik mezonlarigina birday bo’lishi kerak. O’xshash sistemalarning ana shu xossasi modellash usuliga asos qilib olingan.