Microsoft Word oliy matematika B
Download 214.37 Kb.
|
Toʻla ehtimol. Bayes formulasi
- Bu sahifa navigatsiya:
- Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasi
Toʻla ehtimol. Bayes formulasi. Bernulli formulasi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni. REJA:To‘la ehtimollik va Bayes formulalari Bernulli formulasi Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni. To‘la ehtimollik va Bayes formulalariA1, A2 ,..., An juft-jufti bilan birgalikda bo‗lmagan hodisalar to‗la n A1 + A2 + ... + An = ekanligini hisobga olib, B ni B = B = B ( A1 + A2 + ... + An ) = B A1+ B A2 + ... + B An ko‗rinishda yozamiz. Ai Aj = , i j ekanligidan (B Ai ) (B Aj ) = , i j ekani kelib chiqadi. B hodisaning ehtimolligini hisoblaymiz: P(B) = P(B A1 + B A2 + ... + B An ) = = P(B A1) + P(B A2 ) + ... + P(B An ) . Ko‗paytirish qoidasiga ko‗ra tenglikni (1.12.1) gaqo‗llasak, P(B Ai ) = P(Ai ) P(B / Ai ), i = 1,n bo‗ladi. Bu P(B) = P( A1 )P(B / A1 ) + P( A2 )P(B / A2 ) + ... + P( An )P(B / An ) . n Agar B Ai i =1 bo‗lsa, u holda n P(B) = P( Ai )P(B / Ai ) i=1 tenglik o‗rinli bo‗ladi. Bu tenglik to‘la ehtimollik formulasi deyiladi. 1.1-masala. Detallar partiyasi uch ishchi tomonidan tayyorlanadi. Birinchi ishchi barcha detallarning 25%ini, ikkinchi ishchi 35%ini, uchinchsi esa 40%ini tayyorlaydi. Bu uchchala ishchining tayyorlagan detallarining sifatsiz bo‗lish ehtimolliklari mos ravishda 0.05,0.04 va 0.02 ga teng bo‗lsa, tekshirish uchun partiyadan olingan detalning sifatsiz bo‗lish ehtimolligini toping. Ai={detal i-ishchi tomonidan tayyorlangan} i = 1,3 , B={tekshirish uchun olingan detal sifatsiz} hodisalarni kiritamiz va quyidagi ehtimolliklarni hisoblaymiz: P( A ) = 25% = 0.25, P( A ) = 35% = 0.35, P( A ) = 40% = 0.4 , 1 100% 2 100% 3 100% P(B / A1 ) = 0.05, P(B / A2 ) = 0.04, P(B / A3 ) = 0.02 . To‗la ehtimollik formulasiga asosan P(B) = 0.25 0.05 + 0.35 0.04 + 0.4 0.02 = 0.0345. Ai va B hodisalar ko‗paytmasi uchun P( Ai B) = P(B) P( Ai / B) P( Ai B) = P( Ai ) P(B / Ai ) tengliklar o‗rinli. (1.12.3) va (1.12.4) tengliklardan quyidagilarni hosil qilamiz: P(B) P( Ai / B) = P( Ai ) P(B / Ai ) , P( Ai / B) = P( Ai )P(B / Ai ) . P(B) n Bu yerda P(B) = P( Ai )P(B / Ai ) . (1.12.5) tenglik Bayes formulasi i=1 deyiladi. Bayes formulasi yana gipotezalar teoremasi deb ham ataladi. Agar A1, A2 ,..., An hodisalarni gipotezalar deb olsak, u holda P( Ai ) ehtimollik Ai gipotezaning aprior(―a priori‖ lotincha tajribagacha), P( Ai / B) ehtimollik esa aposterior(―a posteriori‖ tajribadan keyingi) ehtimolligi deyiladi. Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasiAgar bir ne cha tajribalar o‗tkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog‗liq bo‗lmasa, bunday tajribalar bog‗liqsiz tajribalar deyiladi. n ta bog‗liqsiz tagribalar o‗tkazilayotgan bo‗lsin. Har bir tajribada A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi P( A) = p va ro‗y bermasligi ehtimolligi P( A) = 1 p = q bo‗lsin. Masalan, 1) nishonga qarata o‗q uzish tajribasini ko‗raylik. Bu yerda A={o‗q nishonga tegdi}-muvaffaqqiyat va A ={o‗q nishonga tegmadi}- muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda A={mahsulot sifatli}-muvaffaqqiyat va A ={mahsulot sifatsiz}- muvaffaqqiyatsizlik bo‗ladi. Bu kabi tajribalarda elementar hodisalar fazosi faqat ikki elementdan iborat bo‗ladi: = {0 ,1} ={A, A}, bu erda 0 -A hodisa ro‗y bermasligini, 1 -A hodisa ro‗y berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q (p+q=1) lar orqali belgilanadi. Agar n ta tajriba o‗tkazilayotgan bo‗lsa, u holda elementar hodisalar fazosining elementar hodisalari soni 2n ga teng bo‗ladi. Masalan, n=3 da = {0,1,...,7} ={AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA}, ya‘ni to‗plam 23=8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir hodisaning ehtimolligini ko‗paytirish teoremasiga ko‗ra hisoblash mumkin: p( 0) = P( AAA) = P( A)P( A)P( A) = q3 , p(1) = P( AAA) = P( A)P( A)P( A) = pq2 , ........ ........ ........ ........ ........ ........ .... p(7 ) = P( AAA) = P( A)P( A)P( A) = p3. n ta bog‗liqsiz tajribada A hodisa m marta ro‗y berish ehtimolligini hisoblaylik: Pn (m) = P(A A ...A A A...A) + P( AA A...A A A...A) + ...+ mta (nm)ta mta (n(m1))ta Har bir qo‗shiluvchi ko‗paytirish teoremasiga ko‗ra Demak, pm qnm ga teng. P (m) = pmqnm + pmqnm + ... + pmqnm = Cm pmqnm , m = 0,1,...n n n . n Cm ta qo'shiluvchi Agar n ta bo‗g‗liqsiz tajribaning har birida A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi p ga, ro‗y bermasligi q ga teng bo‗lsa, u holda A hodisaning m marta ro‗y berish ehtimolligi quyidagi ifodaga teng bo‗ladi: P (m) = Cm pmqnm , m = 0,1,...n . n n Pn(m) = 1 m=0 tenglik o‗rinlidir. Haqiqatan ham, (q + px)n = qn + C1qn1 px + C 2qn2 p 2 x2 + ... + pn xn n n Nyuton binomi formulasida x = 1 deb olsak, (q + p)n = qn + C1qn1 p + C 2qn2 p 2 + ... + pn , ya‘ni n n n 1 = Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(n) = Pn(m) m=0 bo‗ladi. ehtimolliklar xossalari: n 1. Pn(m) = 1 . m=0 m2 Agar m1 m m2 bo‗lsa, Pn(m1 m m2 ) = Pn (m) . m=m1 n ta bog‗liqsiz tajribada A hodisaning kamida 1 marta ro‗y berishi ehtimolligi P = 1 qn bo‗ladi. Chunki, P (0) + P (1) + ...+ P (n) = 1 P = 1 P (0) = 1 qn . n n n n P Agar Pn(m) ehtimollikning eng katta qiymati Pn(m0 ) bo‗lsa, u holda m0 Download 214.37 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling