Microsoft Word oliy matematika B


Download 214.37 Kb.
bet1/2
Sana16.06.2023
Hajmi214.37 Kb.
#1500427
  1   2
Bog'liq
Toʻla ehtimol. Bayes formulasi


Toʻla ehtimol. Bayes formulasi. Bernulli formulasi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni.



REJA:


  1. To‘la ehtimollik va Bayes formulalari

  2. Bernulli formulasi

  3. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni.



















To‘la ehtimollik va Bayes formulalari




A1, A2 ,..., An juft-jufti bilan birgalikda bo‗lmagan hodisalar to‗la
n

gruppani tashkil etsin, ya‘ni Ai = va
i=1
Ai Aj = , i j . U holda



A1 + A2 + ... + An = ekanligini hisobga olib, B ni
B = B = B ( A1 + A2 + ... + An ) = B A1+ B A2 + ... + B An ko‗rinishda yozamiz.


Ai Aj = , i j ekanligidan (B Ai ) (B Aj ) = , i j ekani kelib chiqadi. B

hodisaning ehtimolligini hisoblaymiz:




P(B) = P(B A1 + B A2 + ... + B An ) =
= P(B A1) + P(B A2 ) + ... + P(B An ) .



Ko‗paytirish qoidasiga ko‗ra tenglikni (1.12.1) gaqo‗llasak,
P(B Ai ) = P(Ai )  P(B / Ai ), i = 1,n bo‗ladi. Bu

P(B) = P( A1 )P(B / A1 ) + P( A2 )P(B / A2 ) + ... + P( An )P(B / An ) .
n

  • Agar B Ai

i =1
bo‗lsa, u holda
n



P(B) = P( Ai )P(B / Ai )
i=1
tenglik o‗rinli bo‗ladi. Bu tenglik to‘la ehtimollik formulasi deyiladi.

1.1-masala. Detallar partiyasi uch ishchi tomonidan tayyorlanadi. Birinchi ishchi barcha detallarning 25%ini, ikkinchi ishchi 35%ini, uchinchsi esa 40%ini tayyorlaydi. Bu uchchala ishchining tayyorlagan detallarining sifatsiz bo‗lish ehtimolliklari mos ravishda 0.05,0.04 va 0.02
ga teng bo‗lsa, tekshirish uchun partiyadan olingan detalning sifatsiz bo‗lish ehtimolligini toping.
Ai={detal i-ishchi tomonidan tayyorlangan} i = 1,3 , B={tekshirish uchun olingan detal sifatsiz} hodisalarni kiritamiz va quyidagi ehtimolliklarni hisoblaymiz:

P( A ) = 25%
= 0.25, P( A ) = 35%
= 0.35, P( A ) = 40%
= 0.4 ,

1 100%
2 100%
3 100%

P(B / A1 ) = 0.05, P(B / A2 ) = 0.04, P(B / A3 ) = 0.02 . To‗la ehtimollik formulasiga asosan P(B) = 0.25 0.05 + 0.35 0.04 + 0.4 0.02 = 0.0345.
Ai va B hodisalar ko‗paytmasi uchun


P( Ai B) = P(B)  P( Ai / B) P( Ai B) = P( Ai )  P(B / Ai )

tengliklar o‗rinli. (1.12.3) va (1.12.4) tengliklardan quyidagilarni hosil qilamiz:


P(B) P( Ai / B) = P( Ai ) P(B / Ai ) ,



P( Ai
/ B) = P( Ai )P(B / Ai ) .
P(B)


n


Bu yerda P(B) = P( Ai )P(B / Ai ) . (1.12.5) tenglik Bayes formulasi


i=1

deyiladi. Bayes formulasi yana gipotezalar teoremasi deb ham ataladi. Agar A1, A2 ,..., An hodisalarni gipotezalar deb olsak, u holda P( Ai ) ehtimollik




Ai gipotezaning aprior(―a priori‖ lotincha tajribagacha), P( Ai / B)
ehtimollik esa aposterior(―a posteriori‖ tajribadan keyingi) ehtimolligi deyiladi.

Bog‘liqsiz tajribalar ketma-ketligi. Bernulli formulasi


Agar bir ne


cha tajribalar o‗tkazilayotganida, har bir tajribada biror A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog‗liq bo‗lmasa, bunday tajribalar bog‗liqsiz tajribalar deyiladi.
n ta bog‗liqsiz tagribalar o‗tkazilayotgan bo‗lsin. Har bir tajribada A
hodisaning ro‗y berish ehtimolligi P( A) = p va ro‗y bermasligi ehtimolligi


P( A) = 1  p = q bo‗lsin.

Masalan, 1) nishonga qarata o‗q uzish tajribasini ko‗raylik. Bu yerda A={o‗q nishonga tegdi}-muvaffaqqiyat va A ={o‗q nishonga tegmadi}- muvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta mahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda A={mahsulot sifatli}-muvaffaqqiyat va A ={mahsulot sifatsiz}- muvaffaqqiyatsizlik bo‗ladi.


Bu kabi tajribalarda elementar hodisalar fazosi faqat ikki
elementdan iborat bo‗ladi: = {0 ,1} ={A, A}, bu erda 0 -A hodisa ro‗y
bermasligini, 1 -A hodisa ro‗y berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q (p+q=1) lar orqali belgilanadi.
Agar n ta tajriba o‗tkazilayotgan bo‗lsa, u holda elementar hodisalar
fazosining elementar hodisalari soni 2n ga teng bo‗ladi. Masalan, n=3 da
= {0,1,...,7} ={AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA}, yani
to‗plam 23=8 ta elementar hodisadan iborat. Har bir hodisaning ehtimolligini ko‗paytirish teoremasiga ko‗ra hisoblash mumkin:








p( 0) = P( AAA) = P( A)P( A)P( A) = q3 ,

p(1) = P( AAA) = P( A)P( A)P( A) = pq2 ,
........ ........ ........ ........ ........ ........ ....
p(7 ) = P( AAA) = P( A)P( A)P( A) = p3.


n ta bog‗liqsiz tajribada A hodisa m marta ro‗y berish ehtimolligini hisoblaylik:
Pn (m) = P(A A ...A A A...A) + P( AA A...A A A...A) +
...+
mta (nm)ta mta (n(m1))ta


Har bir qo‗shiluvchi ko‗paytirish teoremasiga ko‗ra Demak,


pm qnm ga teng.



P (m) = pmqnm + pmqnm + ... + pmqnm = Cm pmqnm , m = 0,1,...n
n  n .

n
Cm ta qo'shiluvchi



  • Agar n ta bo‗g‗liqsiz tajribaning har birida A hodisaning ro‗y berish ehtimolligi p ga, ro‗y bermasligi q ga teng bo‗lsa, u holda A hodisaning m marta ro‗y berish ehtimolligi quyidagi ifodaga teng bo‗ladi:

P (m) = Cm pmqnm , m = 0,1,...n .
n n



formula Bernulli formulasi deyiladi.
n
Pn(m) ehtimolliklar uchun


Pn(m) = 1
m=0
tenglik o‗rinlidir. Haqiqatan ham,
(q + px)n = qn + C1qn1 px + C 2qn2 p 2 x2 + ... + pn xn
n n

Nyuton binomi formulasida x = 1 deb olsak,


(q + p)n = qn + C1qn1 p + C 2qn2 p 2 + ... + pn , ya‘ni
n n
n

1 = Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(n) = Pn(m)
m=0
bo‗ladi.

ehtimolliklar xossalari:


n
1. Pn(m) = 1 .
m=0
m2

    1. Agar m1 m m2 bo‗lsa, Pn(m1 m m2 ) = Pn (m) .

m=m1



    1. n ta bog‗liqsiz tajribada A hodisaning kamida 1 marta ro‗y berishi ehtimolligi P = 1 qn bo‗ladi.

Chunki, P (0) + P (1) + ...+ P (n) = 1  P = 1  P (0) = 1  qn .
n n n n
P

    1. Agar Pn(m) ehtimollikning eng katta qiymati Pn(m0 ) bo‗lsa, u holda m0




quyidagicha aniqlanadi: deyilad

Download 214.37 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling