Mikro va makrozarralarning to‘lqin xususiyatlari. De-broyl gipotezasi. De-broyl to‘lqinlarining xususiyatlari. De-broyl gipotezasining tajribada tasdiqlanishi. Devisson va jermer tajribalari. Tomson va tartakovskiy tajribalari

Chiziqli garmonik ossillyator. Chiziqli garmonik ossillyator atom fizikasida foydalaniladigan muhim modellardan biri hisoblanadi. x o‘qi bo‘ylab kvazielastik F=–kx kuch ta’sirida harakatlanuvchi m massali zarra garmonik ossillyator deyiladi. Garmonik ossillyatorni klassik va kvant mexanikalari asosida qarab chiqish mumkin.
Klassik mexanika tushunchalari asosida garmonik ossillyatorni qarab chiqaylik. Massasi m bo‘lgan mikrozarra oddiy tebranishlarni bajarib, muvozanat holatdan x masofaga siljisin (5.5-rasm). Zarra
(5.103)


5.5-rasm
kuch ta’sirida harakat qiladi. Bu formulada k – doimiylik, F – elastiklik kuchi, zarra harakatiga teskari yo‘nalgan bo‘lib, zarrani dastlabki holatiga qay­tarishga harakat qiladi. (5.103) formulani Nyu­tonning ikkinchi qonu­ni asosida quyidagicha yozish mumkin:
, (5.104)
yoki
.
Bu tenglamani integrallashdan quyidagi ifoda hosil bo‘ladi:
, (5.105)
(5.105) formulada birinchi had zarraning kinetik energiyasini ifodalaydi:
, (5.106)
ikkinchi had esa zarraning potensial energiyasini ifodalaydi:
, (5.107)
U vaqtda ossillyator tizimining to‘liq energiyasi quyidagicha ifodalanadi:
. (5.108)
Energiyaning istalgan aniq bir qiymatida zarra ikki nuqta orasida, masalan, A (koordinatasi x=L) va A' nuqta (koordinatasi x=–L)lar orasida chastota bilan garmonik tebranma harakat qiladi. Bunda energiya E, x va  ga bog‘liq bo‘lgan istalgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo‘lgani uchun uning olishi mumkin bo‘lgan qiymatlarining spektri uzluksiz bo‘ladi.
, (5.109)
belgilash kiritib, (5.104) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
, (5.110)
(5.110) tenglama Shredingerning
, (5.111)
to‘lqin tenglamasiga o‘xshashdir. Shuning uchun (5.110) tenglama­ning yechimini (5.111)ning yechimi kabi ifodalash mumkin:
, (5.112)
A va B doimiyliklarni koordinata va tezlikning dastlabki qiymatlari­dan foydalanib aniqlash mumkin. Buning uchun Eyler formulasi asosida (5.112)dagi yechimni quyidagicha yozish mumkin:
, (5.113)
(5.113) ifoda zarraning holatini vaqtga bog‘liq ravishda ifodalay­digan harakat tenglamasidir. Vaqtning istalgan qiymatida zarraning tezligi quyidagicha ifodalanadi:
, (5.114)
zarra t=0 bo‘lgan vaqtda x=L bo‘lgan nuqtada bo‘lsin, u holda uning tezligi ham =0 bo‘ladi. t=0 va =0 bo‘lgan bunday boshlang‘ich shartlarda (5.114) tenglamalarda C=L va D=0 bo‘ladi. U vaqtda (5.113) va (5.114) tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:
, (5.115)
va
. (5.116)
Endi to‘liq energiyani quyidagicha ifodalash mumkin:
. (5.117)
Zarra tebranma harakatida x=0 bo‘lgan muvozanat vaziyatidan o‘tganida maksimal _max=L tezlikka ega bo‘ladi. Bu vaqtda potensial energiya nolga teng, ya’ni U=0 bo‘ladi. Bunday holda zarraning (garmonik ossillyatorning) to‘liq energiyasi
, (5.118)
kattalik bilan aniqlanadi. Agar zarra A yoki A' chetki holatlarda bo‘lsa, uning kinetik energiyasi nolga teng bo‘ladi, chunki tezlik =0. Bu holda zarraning to‘liq energiyasi faqat potensial energiyaga teng, ya’ni
. (5.119)
Demak, klassik mexanikada chiziqli garmonik ossillyator muvo­zanat holati atrofida oddiy garmonik tebranishlarni bajarayotgan zarra deb qaraladi. Kvant mexanikasida garmonik ossillyatorni ko‘raylik. Yuqorida klassik mexanikada qarab chiqilgan zarrani kvant mexanikasi usullari yordamida qarab chiqish uchun tegishli Shredinger tenglamasi yechimini topish kerak. Bunda to‘lqin funksiya­sining x o‘qda biror nuqtada to‘planmaganligini, shuning uchun berilgan vaqtda zarraning turgan joyini aniqlash mumkin emasligini hisobga olish zarur bo‘ladi.


5.6-rasm
Demak, kvant mexanikasida ossillyator energetik spektri diskret bo‘ladi. Bu spektrda ossillyator energetik sathlari orasidagi energiya farqi h ga teng. Bunday diskret energetik spektrlar kvant mexanik tizim chegaralangan hollarda hosil bo‘ladi. Klassik mexanikada ossillyator energetik spektri uzluksiz bo‘ladi. “Erkin” zarra, ya’ni kuch maydonidan tashqarida bo‘lgan, potensial energiyasi doimiy bo‘lgan zarra energiyaning istalgan qiymatlariga ega bo‘lishi mumkin, bunda uning spektri ham uzluksiz bo‘ladi.
5.6-rasmda ossillyator energetik sathlarining (5.122) formula orqali hisoblangan energiya qiymatlari va x o‘qida har bir sohada zarraning topilish ehtimoliyati zichligi ² keltirilgan.
Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan ossillyator to‘g‘risida bayon qilingan tushunchalardan yana bir muhim xulosa kelib chiqali: ossillyator energiyasi nolga aylanishi mumkin emas. (5.122) formula­dan ko‘rinadiki, ossillyatorning eng kichik energiyasi E₀ nolga teng bo‘lmaydi, bu nolinchi energiya deyiladi va ga teng bo‘ladi.
Berilgan sohada x o‘qida zarraning topilish ehtimoliyati 5.6-rasmda energiyaning ruxsat etilgan ba’zi bir qiymatlari uchun ehtimoliyat zichligining taqsimlanishi keltirilgan. Grafikda chiziqli garmonik ossillyator­ning U(r) potensial funksiyasi ifodalangan. A va A', B va B' nuqta­lar kvant soni n ning berilgan qiymatida po­tensial energiya mum­kin bo‘lgan to‘liq ener­giyaga teng bo‘ladigan nuqtalardir. Klassik ossillyator (5.118) for­mulaga asosan bu nuq­talar chegarasidan chet­ga chiqa olmaydi. Kvant mexanikasidagi ossillyator uchun esa ehtimoliyat zichligi chekli qiymatga ega bo‘ladi va bu chetki nuqtalar tashqarisida, ya’ni potensial chuqurlikdan tashqarida ham zarraning topilish ehtimoliyati kichik bo‘lsada, chekli qiymatga ega bo‘ladi.


Nazorat savollari

1. 
   Zarra qachon erkin harakat qiladi va bunday harakat uchun Shredinger tenglamasi qanday ko‘rinishda yoziladi?
   
2. 
   Chiziqli garmonik ossillyatorni qanday tushunasiz?
   
3. 
   Ossillyator energiyasi qanday formula bilan aniqlanadi?
   
4. 
   Ossillyator energiyasi nolga aylanishi mumkinmi?