Mikro va makrozarralarning to‘lqin xususiyatlari. De-broyl gipotezasi. De-broyl to‘lqinlarining xususiyatlari. De-broyl gipotezasining tajribada tasdiqlanishi. Devisson va jermer tajribalari. Tomson va tartakovskiy tajribalari

Nazorat savollari

1. 
   Mikrozarralar holati qanday to‘lqin funksiyasi bilan ifodalanadi?
   
2. 
   De-Broyl gipotezasining mohiyati nima?
   
3. 
   Mikrozarralarda klassik zarraning qaysi xarakteristikalari saqlanadi?
   
4. 
   De-Broyl tenglamalarini tushuntiring.
   
5. 
   Fazoning berilgan joyida mikrozarraning topilish ehti­moliyati qaysi kattalik bilan aniqlanadi?
   
6. 
   Mikrozarra qanday tezlik bilan harakatlanadi?
   
7. 
   De-Broyl gipotezasi tasdiqlanadigan tajribalarni tushun­tiring?
   
8. 
   Elektron, proton uchun de-Broyl to‘lqin uzunliklari formulalarini yozing va tushuntiring.
   
9. 
   Noaniqlik munosabati nima sababdan kiritilgan va uning mohiyati nima?
   
10. 
    Impuls va koordinata uchun noaniqlik munosabati qaysi formula bilan ifodalanadi?
    
11. 
    Energiya uchun noaniqlik munosabatini yozing va izohlang.
    

BIR O‘LCHAMLI POTENSIAL O‘RADAGI ZARRA. ZARRALARNING POTENSIAL TO‘SIQDAN O‘TISHI. TUNNEL EFFEKTI. CHIZIQLI GARMONIK OSSILLYATOR.

Reja:

1. 
   Bir o‘lchamli potensial o‘radagi zarra.
   
2. 
   Zarralarning potensial to‘siqdan o‘tishi. Tunnel effekti.
   
3. 
   Chiziqli garmonik ossillyator.
   

5.1-rasm
Bir o‘lchamli potensial o‘radagi zarra. Shredinger tenglamasi asosida kvantlash to‘g‘riburchak shakli­dagi bir o‘lchamli simmetrik “potensial o‘ra” misolida tushuntiriladi. U(x) potensial funksiya –<x<+ intervalda U₀ doimiy qiymatga ega bo‘ladi va bu intervaldan tashqarida nolga aylanadi (5.1-rasm). Bunday hol uchun Shredinger tenglamasi­ning aniq yechimini hosil qilish va shu asosda energiyaning kvantlanishini qarab chiqish mumkin.
Cheksiz chuqur potensial o‘rani ko‘raylik. Bunda U₀ kattalik cheksizga aylanadi. Bunday holda potensial funk­siyaning nol qiymati uchun, uning poten­sial o‘ra tubidagi qiymati, ya’ni –<x<+ intervaldagi qiymati olinadi. Bu vaqtda o‘raning devorlarida (ya’ni x=±a bo‘lganda) 0 dan + bo‘lgan oraliqda U(x) funksiyada uzilish bo‘ladi. Bunday potensial o‘ra 5.2-rasmda keltirilgan. Chekli chuqurlikka ega bo‘lgan potensial o‘ra holidan cheksiz chuqur potensial o‘ra holiga o‘tishdagi matematik soddalashtirish, –<x<+ oraliqdan tashqarida U funksiya cheksiz katta bo‘lganda  funksiya nolga aylanishi bilan bog‘liqdir. Haqiqatdan ham, klassik fizikaga asosan, energiyasi E bo‘lgan zarra U(x)=+ bo‘lgan sohaga o‘ta olmaydi. Kvant mexanikasida bunday holat ehtimoliyat zichligi ^* va funksiyani o‘zi  ning nolga aylanishi talabi bilan almashtiriladi.
Shunday qilib, Shredinger tenglamasining yechimini faqat –<x<+ oraliqda ko‘rib chiqish yetarli bo‘ladi. –<x<+ oraliq ichida U(x)=0.
U vaqtda bir o‘lchamli holat uchun yozilgan


5.2-rasm

Shredinger tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
. (5.73)
Bunga quyidagi belgilash kiritilgan:
, (5.74)
bo‘lib, k ning musbat qiymatlari bilan chegaralanamiz. (5.73) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
.




5.4-rasm
Zarralarning potensial to‘siqdan o‘tishi. Tunnel effekti. Zarraning bir o‘lchovli harakatining muhim hollaridan biri, uning potensial to‘siqdan o‘tishidir. 5.4-rasmda keltirilgan potensial o‘rani ko‘rib chiqish mumkin. m massali zarra x o‘qi yo‘nalishida harakatla­nayotgan bo‘lsin. Rasmda x o‘qi I, II, III sohalarga bo‘lingan. a<x<b sohada potensial energiya nol­dan farq qiladi. Kengligi ab va balandligi U₀ bo‘lgan a<x<b soha potensial to‘siq deyiladi. Zarra x o‘qi yo‘nalishida hara­katlanganda potensial to‘siqqa duch kelsin (5.4-rasm). Agar zarraning to‘liq energiyasi E to‘siq balandligi U₀ dan katta, ya’ni E>U₀ bo‘lganda (U₀ – potensial energiya) klassik mexanika tushunchalariga asosan zarra, albatta, I sohadan II sohaga o‘tadi, ya’ni potensial to‘siq ichiga kiradi va o‘zining kamaygan E-U energiyasi bilan potensial to‘siq ichida (II sohada) harakatini davom ettiradi. II sohada faqat o‘tayotgan to‘lqin tarqaladi. Bunda zarra potensial to‘siq orqa tomonidagi III sohaga o‘ta oladi va potensial o‘radan chiqib ketadi, qaytmaydi. Agar zarraning to‘liq energiyasi E potensial to‘siq balandligi U₀ dan kichik, ya’ni E<U₀ bo‘lsa, klassik mexanika bo‘yicha zarraning bir sohadan ikkinchi sohaga o‘tishi mumkin emas. Lekin kvant mexanikasida tunnel effekti deb ataladigan hodisaga asosan zarraning to‘liq energiyasi E potensial to‘siq balandligi U₀ dan kichik bo‘lganda, ya’ni E<U₀ bo‘lganda ham mikrozarraning II sohada topilishi aniq ehtimoliyatga ega bo‘ladi. x ning ortishi bilan bu ehtimoliyat eksponensial kamaya boradi, lekin noldan farq qiladi. Tunnel effektini tushunish uchun kvant mexanikasida potensial to‘siq shaffofligi D degan tushuncha kiritiladi. D – to‘siqqa tushayotgan elektronlar to‘lqinlari intensivligining to‘siqdan o‘tadigan qismini xarakterlaydigan kattalik. Mikrozarralarning klassik fizikaga zid bo‘lgan, ya’ni E<U₀ bo‘lgan holda ham to‘siqdan o‘tishi Shredinger tenglamasining yechimidan kelib chiqadi. Rasmda a<x<b sohada Shredinger tenglamasining yechimi bo‘lgan  funksiya noldan farqli qiymatlarga ega bo‘ladi. Zarraning to‘siq ichida topilishining ehti­moliyati esa to‘lqin funksiyasi amplitudasining kvadratiga propor­sionaldir. Shuning uchun mikrozarrani to‘siq ichida ham qayd qilish ehtimoliyati mavjud, uning potensial to‘siqdan o‘tish ehtimoliyati noldan farq qiladi.
Demak, to‘liq energiyasi E bo‘lgan zarra U₀ balandligi E dan katta bo‘lgan potensial to‘siqqa tushsa, ya’ni E<U₀ bo‘lganda zarra­ning potensial to‘siqdan o‘tishi chekli ehtimoliyatga ega bo‘ladi. Zarralarning potensial to‘siq orqali sizib o‘tishi tunnel effekti deyiladi. Tunnel effekti faqat kvant mexanikasi nuqtai nazaridan tushuntiriladi.
To‘lqin funksiyasi bilan bog‘liq bo‘lgan ehtimoliyat zichligi shu funksiyaning amplitudasi kvadratiga proporsional bo‘lgani uchun potensial to‘siqning shaffoflik koeffisiyentini quyidagicha aniqlash mumkin:
. (5.97)
Xuddi shunday, to‘siqdan qaytgan va unga tushgan to‘lqinlar amplitudalarining modullari kvadratlarining nisbati aniqlanadi:
, (5.98)
(5.97) va (5.98) formulalarda D – zarralarning II sohadan o‘tish yoki potensial to‘siqdan o‘tish ehtimoliyati; R – zarralarning sohalar chegarasidan qaytish ehtimoliyati.
Yuqoridagi _I, _II, _III yechimlar va ularning hosilalarining x=a va x=b nuqtalarda teng bo‘lishi shartidan C₁,C₂,C₃,C₄,C₅ amplitudalar uchun tenglamalar tizimi kelib chiqadi. Bu tenglamalar yordamida C₅,C₁,C₂ amplitudalar nisbatlarini aniqlash mumkin. Bunda shaffoflik koeffisiyentining to‘siq parametri bilan bog‘lanishi hosil bo‘ladi. Bunday bog‘lanishni topishda matematik amallarni keltirmasdan fizikaviy mulohazalar yordamida shaffoflik koeffisiyenti D ning ifodasini yozish mumkin bo‘ladi.
Potensial to‘siqning x=a devoriga chapdan kelib tushgan to‘lqinning intensivligi to‘siq ichida ko‘rinishidagi eksponen­sial qonun bo‘yicha kamayadi, to‘siqning x=b bo‘lgan ikkinchi devoriga bu to‘lqin intensivligi dastlabki qiymatiga nisbatan
, (5.99)
marta susayib yetib keladi. U vaqtda potensial to‘siq orqa tomonidagi (potensial to‘siqdan III sohaga o‘tgan) zarralarning  funksiyasi potensial to‘siqning oldi (I sohadagi) zarralarning  funksiyasidan ko‘paytuvchi bilan farq qiladi. Zarraning topilish ehtimo­liyati to‘lqin funksiyasi kvadrati bilan aniqlanadi. Shuning uchun potensial to‘siq orqa tomonidagi zarralar zichligi to‘siq oldi tomonidagi zarralar zichligidan quyidagi ko‘paytuvchi bilan farq qiladi:
, (5.100)
Bu formulada D – potensial to‘siqning shaffoflik koeffisiyenti deyiladi va zarraning potensial to‘siqdan o‘tish ehtimoliyatini bildiradi. Bunday hodisa tunnel effekti deyiladi.
Shunday qilib, qaralayotgan to‘g‘ri burchakli potensial to‘siq uchun shaffoflik koeffisiyenti
. (5.101)
Ixtiyoriy shakldagi potensial to‘siq uchun shaffoflik koeffisiyenti quyidagicha aniqlanadi:
(5.102)
bu formulada x₁ va x₂ E energiyaga to‘g‘ri keladigan U=U(x) funksiya bilan potensial to‘siqning koordinatalari.
Energiyasi E bo‘lgan zarra balandligi E dan katta, ya’ni E<U(x) bo‘lgan potensial to‘siqqa kelib tushsa, zarraning o‘tishi chekli ehtimoliyatga ega bo‘ladi. Bu ehtimoliyat (5.101) formula orqali hisoblanadi.
Demak, zarra potensial to‘siqdan o‘tishida o‘z energiyasini yo‘qotmaydi deb hisoblanadi. Zarraning to‘siqqa tushguncha energiyasi qancha bo‘lsa, to‘siqdan o‘shanday energiya bilan chiqadi. Zarralarning potensial to‘siqdan xuddi tunneldan o‘tgandek sizib o‘tishi tunnel effekti deyiladi.