Moddiy nuqtaning tebranma harakati

Моддий нуқтанинг сўнувчи тебранма ҳаракати
Массаси m бўлган M моддий нуқта қайтарувчи куч ва муҳитнинг қаршилик кучи таъсирида тўғри чизиқли ҳаракатда бўлсин (13.3-расм).
Муҳитнинг қаршилик кучини моддий нуқта тезлигининг биринчи даражасига пропорционал дейлик:

Бу ҳаракатни текшириш учун моддий нуқта ҳаракатининг дифференциал тенгламасини тузамиз:
13.3-рaсм
(13.12)
(13.12) ни қуйидаги кўринишда ёзамиз:
=0 (13.13)
(13.13) нинг икки томонини m га бўлиб, деб белгилаймиз. Натижада
(13.14)
келиб чиқади.
Бошланғич пайтда М нуқта М₀ да бўлиб, унинг абциссаси x₀ , тезлиги бўлсин. (13.14) нинг ечимини топиш учун характеристик тенглама тузамиз:

Бу тенглама ечими

кўринишда бўлиб, ундаги b вa k га нисбатан қуйидаги ҳоллар учраши мумкин:
1) k > b қаршилик кучи қайтарувчи кучга нисбатан кичик бўлган ҳол;
2) k < b қаршилик кучи қайтарувчи кучга нисбатан катта бўлган ҳол;
3) k = b –чегара ҳол.
Бу ҳолларни алоҳида-алоҳида текширамиз.
1).k > b бўлганда характеристик тенглама илдизлари комплекс сондан иборат,яъни:

ёки

бунда
Бу ҳолда (69.4) дифференциал тенгламанинг умумий ечими қуйидагича бўлади:
(13.15)
(13.15) даги C₁ , C₂ ўзгармасларни (13.8) кўринишда танлаб олсак, (13.15) қуйидагича ёзилади:
(13.16)
(13.16) даги a ифода вақт ўтиши билан нолга интилади,яъни ҳаракат аста-секин сўна боради. Шунинг учун муҳитнинг қаршилик кучи ва қайтарувчи куч таъсиридаги нуқтанинг ҳаракати кичик қаршиликлар ҳолда сўнувчи тебранма ҳаракат бўлади.
(13.14) сўнувчи тебранма ҳаракат дифференциал тенгламасини (13.15) ёки (13.16) сўнувчи тебранма ҳаракат қонунини ифодалайди.

13.4-расм

Сўнувчи тебранишнинг графиги (13.16) тенгламага асосан, тенгламалари бўлган икки эгри чизиқ орасида бўлиб,бу эгри чизиқларга уриниб ўтади (13.4-расм).
(13.16) даги a ва ўзгармасларни ҳаракатнинг бошланғич шартларидан фойдаланиб топамиз.
(13.16) дан ҳосила оламиз:
(13.17)

(13.16) ва (13.16) га бошланғич шартларни қўйсак:

ёки
(13.16)
келиб чиқади.
(13.16) тенгламалар системасини ечсак:
(13.17)
ҳосил бўлади.
(13.14) тенгламада қатнашгани туфайли нуқта ҳаракати даврий характерга эга, лекин нуқтанинг тўлиқ аввалги ҳолатига қайта олмаслигини кўрсатади. Шунинг учун сўнувчи тебранишнинг тебраниш даври тушунчасини шартли киритамиз:
(13.18)
ёки
(13.19)
(13.19) даги ифодани қаторга ёйиб, b/k нинг иккинчи даражадан юқори бўлган даражадаги ҳадларини ташлаб юборсак ва (13.11) ни эътиборга олсак,
(13.20)
келиб чиқади.Бу ифодадаги b/k қаршилик коэффициенти деб аталади.
(13.20) дан кўрамизки, T > , бироқ қаршилик жуда кичик бўлганда тебранма ҳаракат даври эркин тебраниш давридан деярли фарқ қилмайди,яъни
Энди, сўнувчи тебранма ҳаракат амплитудасининг ўзгаришини кўриб чиқамиз. M нуқта ўзининг мувозанат ҳолатидан v - максимал оғишини , v+1 - максимал оғишини билан белгилаймиз. Бу оғишларга мос келган вақтлар вa учун (13.14) қуйидагича бўлади:


бундан
(13.21)
келиб чиқади. (13.21) дан кўрамизки нисбат ўзгармас ҳамда нолдан кичик.
Демак, тебраниш амплитудасининг ҳар бир T давр ўтишдаги кетма-кет қийматлари,махражи бўлган камаювчи геометрик прогрессияни ташкил қилади. - тебраниш декременти (сўниш фактори) дейилади.Тебраниш декрементидан олинган натурал логарифмнинг модули эса логарифмик декремент деб аталади ва қуйидагича ёзилади:
(13.22)
бу ерда b - сўниш коэффициенти.
2) k < b бўлган ҳолда характеристик тенглама илдизлари ҳақиқий ва манфий бўлади, яъни:

Натижада (13.11) дифференциал тенгламанинг умумий ечими қуйидагича ёзилади:
(13.23)
(13.23) дан кўрамизки, k < b ҳолда нуқта ҳаракати даврий характерга эга эмас. Шунинг учун бу ҳолдаги ҳаракат апериодик (яъни даврий бўлмаган) сўнувчи ҳаракат дейилади.
(13.23) даги C₁, C₂ ўзгармаслар ҳаракатнинг бошланғич шартларидан фойдаланиб аниқланади.
(13.23) дан вақт бўйича ҳосила оламиз:
(13.24)
(13.23) ва (69.16) га бошланғич шартларни қўйсак:
x₀ = C₁ + C₂, (13.25)
ҳосил бўлади.
(13.25) дан:
, (13.26)
келиб чиқади.
(13.26) ни (13.23) га қўйсак, М нуқтанинг берилган бошланғич шартларни қаноатлантирувчи апериодик ҳаракат тенгламаси ҳосил бўлади:
(13.27)
3) b = k да (13.4) дифференциал тенгламанинг умумий ечими қуйидагича бўлади:
(13.28)
Демак,бу ҳолда ҳам ҳаракат апериодик бўлади.
(13.28) дан ҳосила оламиз:
(13.29)
(13.28) ва (69.21) га бошланғич шартларни қўйсак:

ҳосил бўлади.Бу тенгликлардан

келиб чиқади.
Демак, k = b бўлган ҳолдаги апериодик ҳаракат тенгламаси қуйидагича бўлади:
(13.30)
Кейинги икки ҳолда моддий нуқта тебранма ҳаракат қилмай асимтотик равишда нолга яқинлашади.
1 35-рaсм
Бундай ҳаракатнинг графиги моддий нуқтанинг бошланғич ҳолатига ҳамда бошланғич тезликнинг модули ва йўналишига боғлиқ. 13.5-расмда турли бошланғич шартлар учун b > k ҳолдаги апериодик ҳаракат графиги кўрсатилган:
a) x₀ >0 ,V₀ >o; (13.5-рaсм,a) .
б) x₀ >0 ,V₀ >o лекин, ) , ) ; (135-расм,б)
в) лекин, , ; (135-расм,в)
b = k ҳолда ҳам апериодик сўнувчи ҳаракат графиги 13.5-расмда кўрсатилганига ўхшаш бўлади.