Moddiy nuqtaning tebranma harakati

2.Моддий нуқтанинг мажбурий тебранма ҳаракати.
Моддий нуқта қайтарувчи куч ҳамда вақтнинг узлуксиз функцияси сифатида ўзгарувчи ва уйғотувчи куч деб аталувчи куч таъсирида тўғри чизиқли ҳаракатда бўлсин (136-расм).



13.6-расм
Уйғотувчи куч гармоник қонун бўйича ўзгарсин яъни:
(13.2.1)
(13.2.1) да Q уйғотувчи кучнинг энг катта қиймати, p - доиравий такрорлиги, pt+ - фазаси, - бошланғич фазаси. Уйғотувчи куч даври эса га тенг.
Бошланғич пайтда M нуқта M₀ да бўлиб,унинг координатаси x_o, тезлиги V_o бўлсин.
Моддий нуқтанинг ҳаракат дифференциал тенгламасини тузамиз:
(13.2.2)
(13.2.2) ни қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз:

белгилашлар киритсак,
(13.2.3)
ҳосил бўлади.
Дифференциал тенгламалар назариясидан маълумки, (13.2.3) дифференциал тенглама ечими қуйидагича ёзилади:
(13.2.4)
(13.2.4) да x₁ билан
(13.2.5)
бир жинсли дифференциал тенгламанинг умумий ечими белгиланган; эса (13.2.3) нинг хусусий ечимидан иборат.
(13.2.5) дифференциал тенгламанинг умумий ечими:
(13.2.6)
кўринишда ифодаланиши бизга маълум.
(13.2.3) ўзгармас коэффициентли чизиқли бир жинсли дифференциал тенгламанинг хусусий ечимини қуйидаги кўринишда оламиз:
(13.2.7)
(13.2.7) даги B коэффициентни аниқлаш учун (70.7) дан вақт бўйича иккинчи тартибли ҳосила оламиз:
(13.2.8)
(13.2.7) ва (13.2.8) ни (13.2.3) га қўямиз:

Б у айниятдан:

Натижада (13.2.7) тенглама қуйидагича ёзилади:

(13.2.9)
(13.2.9) тенглама билан аниқланувчи ҳаракат моддий нуқтанинг мажбурий тебранма ҳаракати дейилади.
Демак, (13.2.3) нинг умумий ечими қуйидагича ёзилади:
(13.2.10)
(13.2.10) даги a ва ҳаракатнинг бошланғич шартларидан фойдаланиб аниқланади.
(13.2.9) дан кўрамизки,мажбурий тебранма ҳаракат амплитудаси ёки нуқтанинг энг катта динамик силжиши:
(13.2.11)
бўлади.
(13.2.11) дан фойдаланиб, (13.2.9) ни қуйидаги кўринишларда ёзиш мумкин:
aгaр k > p бўлса;
ва агар k < p бўлса.
Бу муносабатларга биноан k > p бўлганда мажбурий тебраниш фазаси уйғотувчи куч фазаси билан бир хилда бўлади; k < p ҳолда эса мажбурий тебраниш фазаси уйғотувчи куч фазасидан га орқада қолади.
Мажбурий тебраниш амплитудаси билан p/k нисбат орасидаги боғланишни текширайлик. Бунинг учун (13.2.11) ни қуйидагича ёзамиз:
(13.2.12)
бунда билан моддий нуқтанинг уйғотувчи куч максимал қиймати таъсирида олган статик силжиши белгиланган.
(13.2.11) дан кўрамизки, мажбурий тебраниш амплитудаси уйғотувчи куч ҳамда эркин тебраниш доиравий такрорликларига боғлиқ.
М оддий нуқта динамик силжишининг статик силжишига нисбати динамик коэффициент дейилади.
Уни билан белгилаймиз:
(13.2.13)
Динамик коэффициент билан орасидаги (13.2.13) боғланиш графиги 13.7-расмда тасвирланган.
13.7-расм
Бошланғич шартлар , бўлган ҳолдаги ҳаракатни текшириш учун (13.2.3) дифференциал тенгламанинг умумий ечимини қуйидаги кўринишда ёзамиз:
(13.2.14)
(13.2.14) дан вақт бўйича ҳосила оламиз:
(13.2.15)
Моддий нуқта ҳаракатининг бошланғич шартларини (13.2.14) ва (13.2.15) га қўйсак:
(13.2.16)
ҳосил бўлади.
(13.2.16) дан

келиб чиқади. Демак, (13.2.14) қуйидагича ёзилади:
(13.2.17)
(13.2.16) дан кўрамизки, ҳамда бўлганда тебраниш ўзига хос кўринишга эга бўлади.Бу ҳол “тепиш” ҳоли дейилади.
“Тепиш” ҳолининг тенгламаси:

ёки
(13.2.18)
бўлади.
(13.2.18) тенглама билан ифодаланадиган ҳаракатнинг доиравий такрорлиги p,даври амплитудаси даврий функция сифатида ўзгарувчи тебранма ҳаракатдан иборат дейиш мумкин.Бу тебраниш амплитудаси:

Бу амплитуданинг даври

ва у T га нисбатан анча катта бўлади.
( 13.2.18) графиги 13.8-расмда кўрсатилган. Мажбурий ва эркин тебраниш доиравий такрорликлари бир хил бўлган (p=k) ҳол резонанс ҳоли деб аталади.
p=k бўлганда (13.2.3) дифференциал тенглама қуйидагича ёзилади:
(13.2.19)
Резонанс ҳолида (13.2.19) тенгламанинг хусусий ечимини қуйидаги кўринишда аниқлаймиз:
138-расм
(13.2.20)
(13.2.20) дан вақт бўйича ҳосила оламиз:
(13.2.21)
(13.2.20) ва (13.2.21) ни (13.2.19) га қўйсак:
) (13.2.22)
ҳосил бўлади. (13.2.22) дан:

келиб чиқади.
Демак, (13.2.19) дифференциал тенгламанинг умумий ечими қуйидагича бўлади:
(13.2.23)
(13.2.23) дан кўрамизки, нуқтанинг ҳаракати эркин ва мажбурий тебранишлар йиғиндисидан иборат.
Резонанс ҳолдаги мажбурий тебранма ҳаракат тенгламаси
(13.2.24)
бўлади.
(13.2.24) да мажбурий тебраниш амплитудаси, фазаси, эса доиравий такрорлигидан иборат. (13.2.24) га биноан, резонанс ҳолатидаги мажбурий тебраниш фазаси уйғотувчи куч фазасидан га орқада қолади, амплитуда эса вақтга пропорционал ўзгаради.

13.9-расм 14.0-расм

(13.2.24) тенглама билан аниқланувчи ҳаракат графиги 13.9-расмда тасвирланган.