Модельдеу әдістері

2.2 Математикалық модельдердің негізгі түрлері
Қолданудың әртүрлі аспектілерін қанағаттандыратын жалпы универсалды модельді жасау мүмкін емес. Басқарылатын объекттің кейбір қасиеттерін қамтып көрсететін ақпаратты алу үшін модельдерді классификациялау қажет.
Классификациялаудың негізінде φ оператордың ерекшеліктері жатады. Уақыттық және кеңістіктік белгілері бойынша басқару объекттердің барлық түрлерін келесі кластарға бөлуге болады: статикалық немесе динамикалық; сызықты немесе сызықты емес; уақыт бойынша үздіксіз немесе дискретті; стационарлы немесе стационарлы емес; параметрлері кеңістік бойынша өзгеретін процестер және параметрлі кеңістік бойынша өзгермейтін процестер. Математикалық модельдер сәйкес объектілерді суреттейтін болғандықтан, оларға да осы кластарды қолдануға болады. Модельдің толық атауына айтылған белгілердің барлығы кіруі мүмкін. Осы белгілер модельдердің сәйкес типтер атауларының негізі болып табылды.
Жүйеде зерттелетін процестер сипаттарына сәйкес модельдердің барлығын келесі түрлерге бөлуге болады.
Процесте кез келген кездейсоқ әсерлер жоқ деп есептелсе, процесс детерминерленген (анықталған) деп аталады; осындай процестерді бейнелейтін модельдер – детерминерленген модель болады.
Ықтималдық процестер мен оқиғаларды бейнелейтін модельдер стохастикалық модель деп аталады; бұл кезде кездейсоқ процестің бірсыпыра іске асырылуы болжанып, орта сипаттамалары бағаланады.
Стационарлы және стационарлы емес модельдер. Егер де φ оператордың түрі және оның p параметрлері уақыт бойынша өзгермесе, яғни келесі орындалса
φ[p(t),x]= φ[p(t+τ),x], яғни y= φ(p,x)
онда модель стационарлы болып табылады.
Егер де модель параметрлері уақыт бойынша өзгеретін болса
y= φ[p(t),x]
модель параметрлік стационарлы емес.
Уақыттан функция түрі де тәуелді болса, бұл жағдай стационарлы еместіктің ең жалпы түрі болады. Бұл кезде функцияға тағы бір аргумент қосылады:
y= φ(p,t,x)
Статикалық және динамикалық модельдер. Модель түрлерін осылай бөлгеннің негізінде зерттелетін объекттің материалды жүйе ретінде қозғалысының ерекшеліктері жатады.
Басқару есептер көзқарасы жағынан модельдер туралы әңгімелесек, кеңістік деп геометриялық кеңістікті атамайтынымызды еске алу қажет. Бұл кезде кеңістік деп күй кеңістігін, яғни шығудағы у айнымалыларының күй координаталарын түсінеміз. у векторының элементтері ретінде әдетте бақыланатын технологиялық параметрлер (шығын, қысым, температура, ылғалдық, тұтқырлық, ж.б.) болады. у векторының элементтерінің құрамы объекттің өзі үшін (модельге қарағанда) толығырақ болуы мүмкін, себебі модельдеу кезде нақты объекттің қасиеттерінің тек қана бір бөлігін оқу қажет. Күй кеңістігінде және уақыт бойынша басқару объекттің қозғалысы y(t) векторлық процесс көмегімен бағаланады.
Егер де жүйе күйі өзгермесе, яғни жүйеде тепе-теңдік орындалса, жүйе моделі статикалық деп аталады, бірақ қозғалыс тепе-теңдіктегі объекттің статикалық күйімен байланысқан. Статикалық модельдердің математикалық бейнелеуіне айнымалы ретінде уақыт кірмейді, бұл бейнелеу алгебралық теңдеулерден немесе объект таратылған параметрлері бар объект болса, дифференциалдық теңдеулерден тұрады.
Статикалық модельдер әдетте сызықты емес болады. Олар объекттің бір режимнен басқа режимге көшу себебінен пайда болатын тепе-теңдік жағдайын тура бейнелейді.
Динамикалық модель объекттің күйінің уақыт бойынша өзгеруін бейнелейді. Осындай модельдердің математикалық бейнелеуіне міндетті түрде уақыт бойынша туынды кіреді. Динамикалық модельдер дифференциалды теңдеулерді қолданады. Бұл теңдеулердің дәл шешімдері дифференциалдық теңдеулердің тек қана бірсыпыра кластарына белгілі. Көбінесе жуықты болатын сандық әдістерді қолдану керек болады.
Басқару мақсаттарымен көбінесе динамикалық модельді кірудегі және шығудағы айнымалыларды байланыстыратын беріліс функция ретінде көрсетеді.
Сызықты және сызықты емес модельдер. Математикадағы анықтама бойынша келесі L(λ₁x₁+λ₂x₂)=λ₁L(x₁)+λ₂L(x₂) шарт орындалса L(x) функциясы сызықты болады.
Сол сияқты көп өлшемді функциялар үшін сызықты функцияда тек қана алгебралық қосу және айнымалыны тұрақты коэффициентке көбейту операциялары қолданылады. Егер де модель операторының өрнегінде сызықты емес операциялар болса, модель сызықты емес болады, кері жағдайда – сызықты.
Жинақталған және таратылған параметрлері бар модельдер. Біздер кіргізген терминология бойынша модель атауында “параметрлер” сөздің орнына ”күй координатасы” түсініктемесін қолдану дұрыс болар еді. Бірақ бұл технологиялық процестерді модельдеу тақырыбы бойынша жұмыстардың бәрінде кездесетін қалыптасқан атау.
Егер де процесс айнымалылары уақыт бойынша, сонымен бірге кеңістік бойынша да (немесе тек кеңістік бойынша) өзгеретін болса, онда осындай процестерді бейнелейтін модельдер таратылған параметрлері бар модельдер деп аталады. Бұл кезде z=(z₁,z₂,z₃) геометриялық кеңістігі еңгізіледі және теңдеулердің түрі келесідей болады:
y(z)=φ[p(z),z,x)], p(z)=ψ[y(z),z,x].
Олардың математикалық бейнелеуі әдетте дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерден немесе қарапайым дифференциалдық теңдеулерден (жалғыз кеңістік координатасы бар стационарлы процестерде) тұрады.
Егер де объекттің күй координаталар мәндерінің кеңістік бойынша біркелкі еместігін есепке алмауға болса, яғни келесі градиент болса, сәйкес модель – жинақталған параметрлері бар модель болады. Олар үшін масса мен энергия бір нүктеде жинақталған сияқты.
Кеңістіктің өлшемі міндетті түрде 3-ке тең болмауы мүмкін. Мысалы, жылытылатын жұмыс ортасы бар және жұқа бүйірлі сырты бар құбырдың моделі әдетте объекттің бір өлшемділігін қолданады – тек қана құбыр ұзындығы есептелінеді. Сонымен бірге, қалың бүйір арқылы жұмыс ортаның шектелген көлемге жылы тасымалдау процесі де тек қана бүйір жуандығын есепке алатын бір өлшемді модельмен бейнелене алады, т.б. Белгілі объекттер үшін сәйкес теңдеулердің түрі негізделуі керек.
Уақыт бойынша үздіксіз және дискретті модельдер. Үздіксіз модельдер жүйелердегі үздіксіз процестерді бейнелейді. Уақыт үздіксіз аргумент ретінде қарастырылатын объект күйін бейнелейтін модельдер уақыт бойынша үздіксіз модель болады:
y(t)=φ[p(t),x(t)], p(t)=ψ[y(t),x(t)].
Дискретті модельдер дискретті болып табылатын процестерді бейнелеуге қолданылады. Дискретті модель объект жүріс-тұрысын дискретті уақыттың аралықтарында болжай алмайды. Егер де уақыт бойынша ∆t қадамымен кванттауды еңгізсек, онда  шкала қарастырылады, мұнда i=0,1,2… дискретті уақыт мағынасы болады. Сонда дискретті модель келесі түрде болады:
y(i)=φ[p(i),x(i),∆t]; p(i)=ψ[x(i),y(i),∆t].
∆t қадамы дұрыс таңдалынса, дискретті модельден алдын ала берілген дәлдікпен нәтижені алуға болады. ∆t өзгерсе, айырымдық теңдеудің де коэффициенттері қайта есептелінуі керек.
Дискретті-үздіксіз модельдер. Егер де үздіксіз процестермен бірге объектте дискретті процестер бар екендігін көрсету керек болса, дискретті-үздіксіз модельдер қолданылады.