Модельдеу әдістері

4 дәріс. Объектілердің динамикалық сипаттамаларын анықтаудың аналитикалық әдістері
Дәрістің мазмұны:
- динамиканың негізгі теңдеулері.
Дәрістің мақсаты:
- динамиканың негізгі теңдеулерін, теңдеулерді қарапайымдау жолдарын оқып білу; модельдерді сызықтандыру процедурасын қолдануды үйрену.
4.1 Динамиканың негізгі теңдеулері
Аналитикалық модельдер танып білетін модельдер болады. Құбылыс механизмдерін, яғни объектте бар барлық себеп-салдарлық байланыстарды модель операторының құрамында қамтып көрсету осындай модельдердің ерекшелігі.
Кез келген математикалық модельді құрастыру модельденетін объектті физикалық бейнелеуден басталады. Сонымен бірге модельде көрсететін және оларды бейнелеу кезде қабылданатын негізгі келісімдерді орнататын объектте өтіп жатқан "элементарлы" болатын процестерді бөледі. Бұл арада "элементарлы" деген "қарапайым" дегенді білдірмейді, тек қана ол процестер басқа күрделі процестердің құрастырушысы болатынын білдіреді. Әдетте "элементарлы" деп бір құбылыстар класының процестерін есептейді, мысалы, масса алмасу, жылу тасымалдау, т.б. Әдетте келесі "элементарлы" процестер есепке алынады: фазалар ағындарының қозғалысы, фазалар арасында масса алмасу, жылу беру, агрегаттық күйді өзгерту, химиялық түрлендіру. Есепке алынатын элементарлы процестердің тізімін объектті бейнелейтін математикалық модельге енгізілетін құбылыстардың жиыны анықтайды.
Жылу энергетика өндірісінің негізгі технологиясы келесі элементарлы құрастырушылары бар физикалық процестерде негізделген:
- механикалық процестер – қатты материалдарды механикалық өңдеу;
- гидродинамикалық процестер (сұйықтық пен газды тасымалдау);
- жылу процестері (жылыту және суыту);
- масса алмасу процестері (булану және конденсациялану).
Осы барлық процестерінің өту заңдылықтары олар өтетін ортаның қозғалу шарттарымен байланысты, ол шарттар гидро және газодинамика заңдарымен анықталады. Сонымен бірге олардың барлығы (біріншісінен басқа) жүйенің бөлек бөліктері арасында зат пен энергияны тасымалдау элементарлы процестерінде негізделген. Осындай тасымалдау процестердің заңдылықтарын термодинамика оқиды. (Механикалық процестерді оқу серпімділік теориясының және қатты зат механикасының заңдарында негізделген). Сондықтан көп деген технологиялық процестерін модельдеудің теориялық негізі гидро және газодинамика болып табылады.
Технологиялық процестердің элементарлы қадамдарындағы ғылым негізі жалпы болғандықтан, оларды анализдеу және олардың модельдерінің рұқсат етілген кластарын құрастыру принциптері де жалпы болады. Жалпы кезде объекттің математикалық моделін құрастыру кірудегі шаманың кез келген өзгерісінде шығудағы шаманың өзгеруін анықтауға мүмкіндік беретін жүйенің операторын анықтауға саяды. Реттеу объекттердің сипаттамаларын аналитикалық жолмен анықтау олардың дифференциалдық теңдеулерін құрастыруда негізделген. Дифференциалдық теңдеулерді құру негізгі физикалық заңдарда: масса, энергия және қозғалыс мөлшерін сақтау заңдарында негізделген.
Жүйенің күйін әдетте термодинамика заңдарымен өрнектейді. Термодинамиканың бірінші заңының келесідей математикалық және физикалық формулировкасы бар: элементарлы көлемдегі субстанцияның өзгеруі көлем бетінен кіру ағындар мен шығу ағындар шығындарының алгебралық қосындысына тең. Бұл заң материя мен оның қозғалысының жоғалмайтынын бейнелейді және масса, энергия мен қозғалыс мөлшерін сақтау заңдар арқылы жазылады.
Массаны сақтау заң. Бұл заң классикалық механиканың негізгі заңы болып табылады: қозғалыстағы материалды жүйенің кез келген бөлігінің массасы уақыттан тәуелсіз және тұрақты шама болады.
Қозғалыс мөлшерін сақтау заңы: қозғалыстағы материалды жүйенің кез келген бөлігінің қозғалыс мөлшерінің өзгеру жылдамдығы сыртқы күштердің қосындысына тең.
Энергияны сақтау заңы: Оқшау жүйесіне жылудың шексіз кіші δQ шамасы беріліп, жүйемен шексіз кіші δA шамадай жұмыс жасалса, жүйе энергиясы de = δQ – δA шамаға өзгереді.
Бұл заңдардың барлығын дифференциалды теңдеулермен бейнелеуге болады. Олар тағы да F(p, v, T)=0 күй теңдеуімен толтырылуы керек. Шектеу шарттарымен бірге осы теңдеулер толығымен динамикалық жүйенің кез келген уақыттағы жүріс-тұрысын бейнелейді. Математикалық бейнелеуге кіретін теңдеулер саны міндетті түрде модельдеу процесінде ізделінетін айнымалылар санына тең болуы керек.
Қарапайым дифференциалдық теңдеулерден тұратын математикалық бейнелеудің ерекшелігі болып табылатын бастапқы шарттарды қажетті түрде анықтаудың қажеттілігі. Дербес туындылары бар теңдеулерде бастапқы шарттармен бірге шектегі шарттарды да анықтау қажет (себебі параметрлер бірнеше координаттар бойынша таратылған), олар жалпы кезде уақыттан тәуелді функциялар болады. Кей кезде объектті дифференциалдық теңдеумен бейнелеу орнына айырымдық теңдеулер қолданылады. Осындай түрлендіруде қателік пайда болады, модельдеу нәтижесін бағалағанда, осы қателікті есепке алу керек.
Математикалық модельдерді құрастырғанда блоктық принципі кең қолданылады. Бұл кезде модель бөлек қарастырып отырған процестің бір жағын қамтып көрсететін логикалық тұтас блоктардан құрастырылады. Осы принципке сәйкес тұтас процестің және оның түйіндерінің – элементарлы процестердің физикалық негіздері анализденеді. Әуелі математикалық бейнелеу құрамының негізі болып процестің гидродинамикалық моделі зерттеледі. Содан кейін химиялық процестердің, масса және жылу тасымалдаудың кинетикасы зерттеледі, содан кейін осы әрбір процестің математикалық бейнелеуі жасалады. Соңғы қадамда барлық зерттелген элементарлы процестердің бейнелеулері тұтас бір теңдеулер жүйесіне ұйымдасады.