Máseleni shekli ayırmalar usılı menen sheshiw

Teorema 2. Meyli (39)-shárt orınlansın. Onda (38)-ayırmalar sxeması da baslanǵısh mánisler hám oń bólegi boyınsha turaqlı, al onıń sheshimi ushın tómendegi aprior baha orınlı:
(42)
§4. Giperbolalıq teńlemeler ushın shekli elementler usılınıń qátelik bahaları.
4.1. Máseleniń qoyılıwı. Meyli bizge

(4.1)

teńlemesin sheshiw kerek bolsın. Bul jerde

Elliptikalıq operator.
(4.1) máselesin ulıwmalastırıp qoyılıwın qarap óteyik. (4.1) máselesiniń ulıwmalastırılǵan sheshimi dep erkli funkciyası ushın barlıq aralıǵında
(4.2)
Teńlemesin qanaatlandıratuǵın barlıq lar ushın qa tiyisli hám tuwındısına iye funkciyasına aytamız. Bunda

Buǵan qosımsha forması ushın

Bahası barlıq waqıtta orınlı.
Meyli berilgen túrindegi elementler kópligi bolsın. Bunda - bóleklengen polinomial funkciyalardan turatuǵın bazis bolıp, ol hár-bir shekli elementte dárejeli kópaǵzalılıqlardan ibarat bolıp tabıladı. Mısalı, bir ólshemli jaǵdayda kesindi, eki ólshemli jaǵdayda úshmúyeshlik yamasa tórtmúyeshlik hám taǵı basqa.
Joqarıdaǵı (4.2)-teńlemeni tómendegi yarım diskret másele menen approsimaciyalaymız:
(4.3)
Bul (4.3) máselesine qa tiyisli juwıq sheshiminiń koefficientlerine qarata waqıt boyınsha ápiwayı differencial teńlemeler sisteması ushın Koshi máselesi sáykes qoyıladı:
(4.4)
Bunda - operatorları tan qa harakterlenedi.
4.2. Bazıbır kúshli normada dállik bahasın alıw.
(5.3)-máseleniń sheshiminiń dállik bahasın alayıq. Ol ushın
(4.5)
Belgilewlerin kiritemiz. Bunda boyınsha nıń interpolyantı.(4.2) de dep saylap alıp alınǵan teńlemeden (4.3)ti alsaq tómendegige iye bolamız:
(4.6)
Joqarıdaǵı belgilewlerden bolǵanlıqtan tómendegi energetikalıq birdeylikke iye bolamız:

Bunda Bul keyingi teńlikti integrallasaq

teńligine iye bolamız, sebebi . Bul teńliktiń oń jaǵındaǵı ańlatpalarǵa Koshi_Bunyakovskiy teńsizligin -teńsizligin hám Gronwola lemmasın qollanıw arqalı tómendegilerge iye bolamız.
(4.7)
Bunda .
Egerde hár bir shekli elementte interpolyantı dárejeli kóp aǵzalıq bolsa, onda sheshimleri ushın , bahaları orınlı boladı. Onda bul bahalardan (4.7) hám úshmúyeshliginen tómendegi juwmaqqa iye bolamız.
Teorema 1. Meyli

bolsın. Onda, (4,4) máselesiniń sheshimi ushın

dállik bahası orınlı boladı. Bunda
[11] jumısında joqarıdaǵı (4.4) máselesi ushın tómendegi sxema dúzilgen:
(4.8)

Bunda



Egerde

shárti orınlansa onda bul sxemanıń approksimaciya qáteligi tómendegi túrge iye boladı:

Bul sxemanı relizaciyalaw ushın baslanǵısh shártleri beriwimiz kerek: bunda .
Usı joqarıdaǵı aytılǵan jumısta sheshimi ushın tómendegi bahalar alınǵan:

Endi qáteligin bahalaw ushın tan sheshimine ótiwimiz kerek. ke qarań) ler ushın

bahaları orınlı bolǵanlıqtan joqarıdaǵı nátiyjelerden tómendegi juwmaqqa iye bolamız.
Teorema 4. Meyli (5.4) máselesiniń operatorları bolsın hám shártleri orınlansın. Onda (4.1) máselesin approksimaciyaytuǵın (4.8) sxemasınıń sheshimi ushın, egerde

bolsa onda

bahası orınlı boladı, yamasa bunnan

Solay etip tómendegi teoremanı alamız.