Муаллифлар: Абдурахманов. П., физика-математика фанлари доктори, профессор, Эгамов У., физика-математика фанлари

1ХБОБ. КВАНТ ФИЗИКАСИ

76. 
    - §. Де Бройль тулкинининг физик маъноси
    

Маълум и тезлик билан эркин харакатланаётган, m массали заррачани карайлик. Унинг учун де Бройль тулкинининг фазавий ва гурухли тезликларини хисоблаб курамиз. Фазавий тезлиги куйидагига тенгдир:
ш Нш E mc² c^2
ифа=к⁼ ~Нк⁼ p⁼m⁼и ’ ⁽⁸⁵¹⁾

0. 
   2л
   

Бу ерда E = h ш , p = Нк ва к = —- - тулкин сони. c > и булгани учун,
X
де Бройль тулкинининг фазавий тезлиги, ёругликнинг вакуумдаги тезлигидан каттадир.
Фазавий тезликнинг ёруглик тезлигидан катта ёки кичик булиши тулкиннинг гурухли тезлигига боглик булади.
Гурухли тезликни куйидагича ифодалаш мумкин.
U = da = d (Нш) = dE dk d (Нк) dp
Эркин заррача энергияси
E = д/тУ + p²е² , (85.2)
га тенг булгани учун
dE Pc² Pc² muc²
= и


dp ym₀² c⁴ + p² c² E mc²
Демак, де Бройль тулкинининг гурухли тезлиги заррачанинг тезлигига тенг экан. Фотоннинг гурухли тезлиги
22 pc mcc
и = -— = y = c
E mc 273

уша фотоннинг тезлигига тенгдир.

Де Бройль тулкини дисперсия ходисасига буйсунади, яъни тулкин тезлиги тулкин узунлигига боглик булади.
Тулкиннинг фазавий тезлигини эркин заррачанинг энергияси оркали ифодаласак
E д/m с⁴ + p² с²
»фаз = — =
pp
2nti _
p = nk = —— булгани учун, фазавий тезлик тулкин узунлигига боглик А
булади.

76. 
    - §. Гейзенберг ноаникликларининг муносабати
    

Модда заррачаларининг иккиёкламалик корпускуляр - тулкин табиатига асосан, уларга заррачанинг ёки тулкиннинг барча хусусиятларини белгилаш мумкин эмас. Шу сабабли, микрозаррачалар хусусиятларини урганишда классик механика тушунчаларига айрим чеклашлар киритиш зарур булади.
Масалан, классик механикада исталган заррача аник траектория буйлаб харакатланади ва исталган вактда заррачанинг координата ва импульсини катта аникликда белгилаш ёки аниклаш мумкин.
Тулкин хусусиятига эга булган микрозаррачалар классик заррачалардан бутунлай фаркланадилар. Тулкин хусусиятига эга булган микрозаррачанинг бир аник траектория буйича харакатланишида, унинг аник координатаси ва импульси тугрисида суз юритиш мумкин эмас.
Тулкин хусусиятли заррача импульси тулкин узунлигига боглик булса хам, «берилган нуктадаги тулкин узунлиги» деган тушунча физик маънога эга эмас, шунинг учун аник импульсга эга булган микрозаррача координатаси ноаникдир ва унинг тескарисидир.
Гейзенберг микрозаррача тулкин хусусиятини ва унга боглик чеклашларни хисобга олиб, микрозаррачанинг координатаси ва импульсини бир вактда аник ифодалаш мумкин эмас, деган фикрга келди.
Микрозаррачалар координаталари ва импульслари ноаникликларининг узаро нисбатлари куйидаги шартларни каноатлантирадилар:


274

AxAp_x > h,

• 
  AyAp_y > h, AzAp_z > h.
  

(86.1)


Микрозаррача координаталари ва уларга мос импульсларининг проекциялари ноаникликлари купайтмалари h дан кичик булмайди.
(86.1) - ифодага асосан, заррача координатаси аник булса (Ax = 0), бу холда импульснинг 0х укига проекцияси киймати
^APx
бутунлай ноаник булади.
Ноаниклик муносабати, бир вактда, заррача харакатининг классик хусусияти (координаталари, импульси) ва тулкин хусусиятларидан фойдаланилган холда келтириб чикарилган.
Классик механикада заррача координаталари ва импульсини хохлаган аникликда улчаш мумкин булса, ноаницлик муносабати микрозаррачаларга классик механикани куллашнинг квант чекланишини курсатади.
Ноаниклик муносабатини куйидаги куринишда ифодалаймиз:
Л Л h
^{AxA v}x >—, (86.2)
m ^{v y}
Бу ифодадан, заррача массаси канча катта булса, унинг тезлиги ва координаталари ноаниклиги шунча кичик булади. Бу заррачага катта
аникликда траектория тушунчасини куллаш мумкин булади.
12 6 Масалан, массаси 10^- кг ва чизикли улчамлари 10^-м булган
чангча координатаси, унинг улчамига нисбатан 0,01 аникликда улчанса
о
(Ax = 10 м), (86.2) - ифодага асосан, тезлик ноаниклиги
_Л 6,62 10^-34 ₇ ^ ^ _1Л_14 ,
Av = — м /с « 6,62 -10 м /с


10^-8-10


-12


киймати заррачанинг барча мумкин булган тезликлари кийматига таъсир этмайди. Бундай макроскопик жисмларнинг тулкин хусусияти умуман намоён булмайди ва ноаникликка таъсир этмайди.


275

8

Агарда, электронлар дастаси х уки буйлаб и = 10 м/с тезлик билан харакатланганда унинг аниклиги 0,01 % (Аи_х « 10⁴м/с) булса, бу холда координата ноаниклиги
_Л h 6,62 -10“³⁴ _1Л_8
Ах -- 7,27 -10 м
тАи 9,11-10“³¹ -10⁴


га тенг булади, яъни электроннинг холатини етарлича аникликда улчаш имконияти пайдо булади ва электроннинг траекторияси тугрисида суз юритиш мумкин.
Водород атоми атрофида электрон харакатланганда, унинг координаталари ноаниклиги Ах « 10^-10м булсин. У холда, тезлигининг ноаниклиги Аи_х = 7,27 10⁶м/с булади. Бу хол учун классик механикадан фойдалансак, электрон айлана орбитаси радиуси ~0,5 10^-10м булган ядро атрофида харакатланганда, унинг тезлиги и « 2,3 10⁶м/с булади. Демак тезлик ноаниклиги, тезликнинг узини кийматидан бир неча марта катта булар экан. Шу сабабли, атомдаги электронларнинг харакатини ифодалашда классик механика конунларидан фойдаланиб булмайди.
Квант назариясида заррачаларнинг энергияси ва вакт буйича хам ноаниклик муносабати мавжуд
АЕ - At > h, (86.3)
АЕ - харакат энергиясининг улчаш вактидаги ноаниклиги, At - эса, улчаш жараёни давомийлигининг ноаниклиги. Энергия ноаниклиги
АЕ > h/At


тизимнинг уртача яшаш вакти камайиши билан ошиб боради.

76. 
    - §. Тулкин функцияси ва унинг статистик маъноси
    

Микрозаррачаларнинг каттик жисмлардаги харакатини урганишда, ноаникликлар муносабати туфайли, классик механикани куллашдаги чегаралашлар, ХХ асрда, микрозаррачаларнинг тулкин
276




хусусиятини инобатга олиб, уларнинг харакати ва узаро таъсирлашиши конунларини ифода килиш учун квант механикаси яратилди. Квант механикаси, асосан Планк гипотезаси, Шредингер, Гейзенберг, Дирак ва Эйнштейнларнинг илмий ишларига асослангандир.
Де Бройль тулкинининг физикавий табиатини чукуррок тасаввур этиш учун, ёруглик тулкинлари ва микрозаррачалар учун кузатиладиган дифракция манзараларини таккослаб курамиз.
Ёруглик тулкинлари дифракцияси манзарасида, фазонинг хар хил нукталарида, тулкинлар бир-бирини устига тушиши сабабли, натижавий тебраниш амплитудалари гох кучайиши, гох сусайиши мумкин. Ёруглик табиатига кура, дифракциявий манзара жадаллиги ёруглик тулкини амплитудасининг квадратига пропорционалдир

1. 
   ~ A²
   

Фотон назариясига асосан, жадаллик дифракциявий манзара кузатиладиган нуктага тушаётган фотонлар сони билан аникланади (Nh).
Битта фотон учун амплитуда квадрати, бу ёки бошка нуктага фотоннинг тушиш эхтимоллигини белгилайди.
Микрозаррачалар учун кузатиладиган дифракциявий манзара, хар хил йуналишларда сочилган ва кайтган микрозаррачалар окимининг нотекис таксимланиши билан характерланади. Дифракциявий манзара максимумлари, тулкин назариясига асосан, де Бройль тулкинлар жадаллиги катта булган йуналишларга мос келади. Бошка тарафдан, Де Бройль тулкинлари жадаллиги, заррачалар сони куп булган жойда катта булади, яъни де Бройль тулкини жадаллиги фазонинг берилган нуктасига тушаётган фотонлар сонини белгилайди. Шу сабабли, микрозаррачаларда кузатиладиган дифракциявий манзара статистик (эхтимоллик) конуниятдан иборат булади.
Демак, квант назариясининг энг мухим хусусиятларидан бири микрозаррачанинг холатини таърифлашда эхтимоллик назариясидан фойдаланиш заруриятидир.
1926 йилда М.Борн тулкин конунияти билан, микрозаррачанинг фазода булиш эхтимоллиги эмас, балки эхтимоллик амплитудаси - щ (x,y, z, t) узгаради деб таклиф этди.
щ (x, y, z,t) катталик - у функция ёки тулцин функцияси деб аталади. Эхтимоллик амплитудаси мавхум булиши мумкинлиги учун,


277

W - эхтимоллик тулкин функцияси модулининг квадратига пропорционалдир:

W ~ /( x, y, z, t)|², (87.1)


² * *
Бу ерда / =, / — / функцияга мос мавхум функциядир.
Демак, микрозаррача холатини тулкин функцияси оркали таърифлаш, статистик ёки эхтимоллик тусга эгадир. Тулкин функцияси модулининг квадрати t вактда, координаталари х ва х + dx, у ва у + dy, z ва z+ dz булган сохада заррачанинг булиш эхтимоллигини белгилайди.
Квант механикасида, микрозаррачалар холатини таърифловчи тулкин функция заррачаларнинг корпускуляр ва тулкин хусусиятларини узида акс эттирувчи функциядир.
dV хажм элементида заррачани топиш эхтимоллиги
dw = /\² dV, (87.2)
га тенг. Бу ерда

1.