Муаллифлар: Абдурахманов. П., физика-математика фанлари доктори, профессор, Эгамов У., физика-математика фанлари

i2 dw

w\ = —

2. 
   dV
   

эхтимоллик зичлигини белгилайди.
Шундай килиб / - тулкин функцияси эмас, балки де Бройл
^ ^ I |2
тулкинининг жадаллигини курсатувчи, унинг модулини квадрати \/\ физик маънога эгадир.
Чегараланган хажмда - V, t вакт моментида заррачани топиш эхтимоллиги
w = | dw = | /² dV
V V
га тенг. Бу функция киймати 1 га тенг булганда заррачанинг бу хажмда булиш эхтимоллиги энг катта кийматга эга булади, ва


+ГО
| " dV = 1


(87.3)


278

эхтимолликни тартибга солиш ёки нормаллаш шарти деб аталади. Бу

шарт заррачанинг фазо ва вакт буйича (борлигини) мавжудлигини белгилайди.
Тулкин фукнцияси суперпозиция принципини каноатлантиради. Агарда, тизим /₁,/₂,..../_n тулкин функциялари билан ифодаланадиган хар хил холатларда булса, унинг умумий холатини куйидагича таърифлаш мумкин:
/ = Е ^cn/n
n


бу ерда c_n(n = 1,2,....) - ихтиёрий комплекс сонлардан иборат булади. Демак, квант механикасида тулкин функцияларини (эхтимоллик амплитудаларини) кушиш мумкин. Классик статистикада бир - бирига боглик булмаган ходисалар учун эхтимолликларни кушиш теоремаси кулланилади.
Микрозаррачалар холатининг асосий характеристикаси булган / тулкин функцияси, квант механикасида холатларга тегишли физикавий катталикларнинг уртача кийматини хисоблаш имкониятини беради.
Масалан, электроннинг ядродан кандай уртача масофада булишини куйидаги ифода оркали хисоблаш мумкин:
< r >= | r / ² dV


—w

76. 
    - §. Шредингер тенгламаси
    

Де Бройль тулкинларини ва Гейзенберг ноаниклик муносабатларини изохлаш куйидаги фикрга олиб келди:

• 
  квант механикасида микрозаррачаларнинг хар хил куч майдонларидаги харакатини таърифловчи харакат тенгламаси заррачаларнинг тулкин хусусиятини ёритиб бериши зарур булади.
  

Асосий тенглама / (x, y, z, t) тулкин функциясига нисбатан ва электромагнит тулкинларни характерловчи тулкин тенгламасига ухшаш булиши керак. Бундай тенглама Шредингернинг умумий тенгламаси деб аталади ва куйидаги куринишга эга булади:


279

^{h A}/ + ^U(x,y,z,t)/ = ih, (₈₈₁)

2m дt
* ^h
бу ерда ^h = —, m - заррача массаси, A - Лаплас оператори
д /г
i - мавхум бирлик, U(х, у, z, t) - куч


j


д / д / д /
^A/ =^T + ^Г + ^Г
дх ду dz
майдонидаги заррачанинг потенциал функцияси, / (х, у, z, t) - заррачанинг тулкин функцияси. Бу ифода вацтга боглщ булган Шредингер тенгламаси деб аталади.
Микродунёда содир буладиган куп физикавий ходисалар учун, бу тенгламани, вактга богликлигидан чикариб, соддалаштириш мумкин. Бу холда Шредингер тенгламаси энергия кийматлари белгиланган булган станционар холатларга тугри келади, яъни заррача харакатланаётган куч майдони узгармас булиши керак U (х, у, z, t).
Шредингер тенламасининг ечими - биттаси координатага боглик булган, иккинчиси вактга боглик булган функциялар купайтмасидан иборат булади
E —i—t
/(х, у, z, t) = /(х, у, z)e ^h , (88.2)
бу ерда Е - заррачанинг тула энергияси, у узгармас майдон учун
узгармас катталикдир. (27.2) - ифодани Шредингер тенгламасига куйсак


2 .E .E f 77 \ .E
— i—t — i—t E — i—t


2m

• 
  i — t
  

h j


E —i—t
га эга буламиз. Тенгламанинг икки тарафини e ^h га булсак, куйидагини келтириб чикарамиз:
2m
^A/ + Т^{Г (E — U})/ = ⁰ ’ (88.3)
бу ифода станционар уолатлар учун Шредингер тенгламаси деб аталади.


280




Дифференциал тенгламалар назариясида бу тенглама бехисоб ечимларга эга, аммо улар орасида физикавий маънога эга булганини, чегаравий шартлар куйилганда аникланади.
Шредингер тенгламаси учун бундай чегаравий шартлар куйидагилар булиши мумкин:

• 
  тулкин функцияси даврийлиги;
  
• 
  тулкин функциясининг чеклилиги, аниклиги ва узлуксизлиги (биринчи хосиласи хам).
  

Демак, / - даврий функцияга жавоб берадиган ечимларгина хакикий физикавий маънога эга булади. Бу ечимлар тула энергиянинг барча кийматларида эмас, балки куйилган масалага тегишли айрим кийматларида уринли булади ва энергиянинг бундай кийматлари - хусусий ечимлар деб аталади.
Хусусий кийматларга мос булган функциялар хусусий функциялар деб аталади.

76. 
    - §. Эркин заррачанинг харакати
    

Эркин заррачанинг харакатида (U(x) = 0) унинг тула энергияси кинетик энергия билан мос тушади. X уки буйлаб харакатланаётган эркин заррача стационар холати учун Шредингер тенгламаси куйидаги куринишга эга булади:
д²/ 2т
1X2⁺12 ^Е/ = ^ (^89Л>
Бу тенгламанинг хусусий ечими куйидаги функциядан иборатдир:
/(x) = Ae^ikx
Буерда A = соnst, k = соnst. Энергиянинг хусусий кийматлари
= n² k^2
Е=im, ⁽⁸⁹²⁾
дан иборат булади.


281

ikx — V 2mE'x

^{у(x) — Ae — Ae6} - функция у ( x, t) тулкин функциянинг
координатага тегишли кисмидир.
Эркин заррача харакатининг вактга боглик тулкин функцияси
куйидагидан иборат:
■ + -1 —“ (Et-P_xx)
у( x, t) — A-^M+ikx — A⁶ , (89.3)
бу ерда

• 
  E ₇ P
  

® ^— 6 ва ^k
Вактга боглик функция де Бройлнинг ясси монохраматик тулкинидир.
Энергиянинг хусусий кийматлари ифодасидан энергиянинг
импулсга богликлигини урнатишимиз мумкин
Z7 6²к² Pi