Mualliflar: Abduraxmanov. P., fizika-matematika fanlari doktori, professor, Egamov U., fizika-matematika fanlari

^N = S ^qi , (21.4)
i =1
ya’ni yopik sirt ichidagi zaryadlarning arifmetik yigindisiga teng bo’ladi. Xdkikatda, kuch chiziklarining oqimi sirt radiusiga bog’liq emas, ikkita sirt orasidagi fazoda, zaryadlar yuk bushlikda uzluksizdir, SHu sababli, zaryadni urab olgan ixtiyoriy sirtdan utadigan elektr induksiya oqimi (21.3) ifoda bilan aniklanadi va u Ostrogradskiy - Gauss teoremasining integral kurinishi deb xisoblanadi. ^uyida bu teoremaning differensial kurinishini keltirib chikaramiz.


63

26 - rasmda r xdjmiy zaryad zichligi bilan zaryadlangan dV elementar xdjm keltirilgan.

Z
26 - rasm. r x;ajmiy zaryad zichligi bilan zaryadlangan elementar
%,ajm
dVx,ajm elementi zaryadi dq = pdV ga teng. Boshka tarafdan, r fazoviy koordinatalarning uzluksiz funksiyasi xisoblanadi.
Elementar dV xdjmning 1 - tomonidan chikkan tashki normal x ukining manfiy yunalishiga mos keladi. SHu sababli, shu sirt buyicha vektor oqimi - E_x(x)dydz ga teng bo’ladi. Parallelipipedning 2 - sirtidan chikkan tashki normal x ukining musbat yunalishiga mos keladi va shu sirt buyicha okim + Ex(x + dx)dydz ga teng bo’ladi. Ikkala okim yigindisi






dx






X


[E_x(x + dx) - E_x(x)dydz]






ga teng bo’ladi.
Parallelipipedning butun sirti buyicha tula okim


dN = divEdV,


(21.6)


ga teng bo’ladi, bu erda g_x ^ g_z
Ostrogradskiy - G auss teoremasiga asosan, shu okim


„ dE_x dE_y dE_z divE = —- + + ^z


dN = q = pdV


64




ga tengdir. (21.5) va (21.6) ifodalarni takkoslasak kuyidagiga ega bulamiz:
divE =r, (21.7)


Bu ifoda Ostrogradskiy - Gauss teoremasining differensial kurinishidir. Elektr maydonining divergensiyasi elektr otsimining fazoviy koordinatalar yunalishlari buyicha gradientlar yigindisiga yoki zaryadlangan uajmning uajmiy zaryad zichligiga teng bo’ladi.
Ostrogradskiy - Gauss teoremasini amalda tadbik etish uchun, kuyidagi tushunchalarni kiritamiz:

• 
  Zaryadlarning xajmiy zichligi deb, jismning bir birlik xajmiga mos kelgan zaryadga mikdor jixatdan teng bulgan fizik
  

kattalikka aytiladi, ya’ni R = q , (21.8)
bu erda q - jismning V- xajmiga mos kelgan zaryad mikdori.

• 
  Zaryadning sirt zichligi deb, jismning bir birlik sirt yuzasiga mos kelgan zaryadga mikdor jixatdan teng fizik kattalikka aytiladi,
  

bu erda q - jismning S yuzasiga mos kelgan zaryad mikdori.

• 
  Zaryadning chiziqli zichligi deb, jismning uzunlik birligiga mos kelgan zaryadga mikdor jixatdan teng fizik kattalikka aytiladi,
  

bu erda q - jismning £ uzunligiga mos kelgan zaryad mikdori. kuyidagi misollarni kurib chikamiz.

1. 
   misol.Bir tekis zaryadlangan cheksiz tekislik maydoni.
   

Faraz kilaylik, bir tekis zaryadlangan cheksiz tekislik g - sirt zichligiga ega bulsin (27 - rasm).


ya’ni






(21.9)


ya’ni






(21.10)


£ ’






D₂

27. 
    rasm. Bir tekis zaryadlangan cheksiz tekislik
    

65




Induksiya chiziklari tekislikka perpendikulyar bulgan va tashkariga yunalgan D₁ va D₂ vektorlardan iborat bo’ladi. Bu chiziklar S tekislikda boshlanib ikkala tomonga cheksiz davom etadi. YOpik sirt sifatida xar ikkala tomonidan dS asoslari bilan chegaralangan to’g’rissilindr ajratib olamiz. S₁ va S₂ sirt asoslari A va V nuqtalardagi sirtlarga joylashgan.ssilindr ichidagi zaryad qdS dan iborat.
Silindr yasovchilari induksiya chiziklariga parallel bulgani uchun,ssilindrning yon sirtidan chikuvchi elektr induksiya oqimi nolga teng. Zaryadlangan tekislik maydonining A va V nuqtalaridagi induksiya vektori D₁ va D₂ mikdor jixatdan uzaro teng va karama- karshi yunalgan bo’ladi:
^D1 = ^{_ D} 2
Silindrning asoslaridan chikayotgan induksiya okimlari kuyidagiga teng:
N₁ = D₁dS₁ , N₂ = D₂ dS₂
Umumiy okim esa,
N = D₁S, + D₂ S₂ = DS + DS = 2DS , (21.11)
Ostrogradskiy - Gauss teoremasiga asosan yopik sirtdan chikayotgan elektr induksiya otsimi N, shu yopik sirt ichidagi zaryad q = —S ga tengdir:
^N = f^DdS = q = ^uS , (21.12)
S
uS = 2 DS ^D = — , (21.13)


sSq 2sSq


(21.14)

2. 
   misol. Bir tekis ^ajmiy zaryadlangan sharning maydoni.
   

Radiusi R bulgan, xajm buyicha zaryadlangan sharning xajmiy zichligi r> 0 bulsin (28 - rasm). Zaryadlangan sharning tashki (r > R) va ichki (r' < R) kismlaridagi maydonni xisoblab kuramiz.
66

27. 
    rasm. Bir tekis xajmiy zaryadlangan shar maydoni
    

A nuqtani olamiz. SHarning zaryadi xajmiy zaryad bilan kuyidagicha boglangan
4 ₃
q - p^V - p. - _K^R , (21.15)
Maydon induksiyasi va maydon kuchlanganligi kuyidagiga teng bo’ladi


D -


¹ q


E -


4 j r² D 1


4j r 3


q


££_r


4j£₀£ G


E


D


££n 3g£[


(21.16)
(21.17)


o r


V nuqtaga nisbatan maydon induksiyasi va kuchlanganligi kuyidagiga
4
teng bo’ladi. Ichki sfera zaryadi q'ga teng bo’lsaq' ^- p •^V' ^- R~^j'


.13


3