Mundarija: Ⅰ. Bobning umumiy nomi : Davriy funksiyalar sinfi, Ularning xossalari

2. Foydalanuvchi tomonidan aniqlanadigan funksiyalar
Dasturda ishlatiladigan har qanday foydalanuvchi tomonidan aniqlanadigan funksiyalar e’lon qilinishi kerak. Funksiyalar qiymat qaytaruvchi va qiymat qaytarmaydigan funksiyalar ko’rinishida bo’ladi. Odatda funksiyalar e’loni sarlavha fayllarda e’lon qilinadi va #include direktivasi yordamida dastur matniga qo’shiladi. Funksiya e’lonini funksiya prototipi tavsiflaydi (ayrim hollarda signatura deyiladi). Funksiya prototipi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
Bu erda - funksiya ishlashi natijasida u tomonidan qaytaradigan qiymatning turi. Agar qaytariladigan qiymat turi ko’rsatilmagan bo’lsa, kelishuv bo’yicha funksiya qaytaradigan qiymat turi int deb hisoblanadi,
- vergul bilan ajratilgan funksiya parametrlarining turi va nomlari ro’yxati. Parametr nomini yozmasa ham bo’ladi. Ro’yxat bo’sh bo’lishi ham mumkin. Funksiya prototiplariga misollar:
int almashsin(int, int);
Funksiya prototipi tushirib qoldirilishi mumkin, agar dastur matnida funksiya aniqlanishi uni chaqiradigan funksiyalar matnidan oldin yozilgan bo’lsa. Lekin bu holat yaxshi uslub hisoblanmaydi, ayniqsa o’zaro bir-biriga murojaat qiluvchi funksiyalarni e’lon qilishda muammolar yuzaga kelishi mumkin.
Funksiya aniqlanishi - funksiya sarlavhasi va figurali qavsga (‘{‘, ’}’) olingan qandaydir amaliy mazmunga ega tanadan iborat bo’ladi. Agar funksiya qaytaruvchi turi void turidan farqli bo’lsa, uning tanasida albatta mos turdagi parametrga ega return operatori bo’lishi shart. Funksiya tanasida bittadan ortiq return operatori bo’lishi mumkin. Ularning ixtiyoriy birortasini bajarish orqali funksiyadan chiqib ketiladi.
haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi va ixtiyoriy chegaralangan o’lchovli to’plamda Lebeg ma’nosida integrallanuvchi funksiyalarni odatdagi funksiyalar deb ataymiz. Har qanday uzluksiz yoki chegaralangan (o’lchovli) funksiya odatdagi funksiyaga misol bo’ladi. Odatdagi funksiyalar bilan ishlash ko’p jihatdan qulay (har bir nuqtadagi qiymatining aniqlanganligi, grafik yordamida tasvirlash mumkinligi,…) bo’lishiga qaramasdan bunday funksiyalar to’plamining differensiallash amaliga nisbatan yopiq emasligi (odatdagi funksiyaning hosilasi hamma vaqt odatdagi funksiya bo’lavermaydi) differensial tenglamalarning mukammal nazariyasini yaratishga imkon bermaydi. Differensiallash amaliga nisbatan aniq bo’lgan cheksiz differensiallanuvchi odatdagi funksiyalar to’plami esa torligi tufayli differensial tenglamalar nazariyasi va uning tadbiqlarining hamma ehtiyojlarini qanoatlantira olmaydi.
Agar funksional tahlilning juda kuchli usullarini qo’llash ehtiyoji tufayli “umumlashgan hosila” tushunchasi vujudga kelgan bo’lsa, differensial tenglamalar nazariyasidagi yuqorida keltirilgan muayyan qarama qarshiliklar va fizikadagi nuqtaviy zaryad, massa va boshqa tushunchalar kattaliklarining zichlik funksiyalari odatdagi funksiyalar yordamida ifodalanmasligi sababli umumlashgan funksiyalar nazariyasi vujudga keldi.Boshqacha aytganda odatdagi funksiyalar to’plamini cheksiz differensiallanuvchi funksiyalar sinfigacha toraytirishdan ko’ra funksiya tushunchasini kengaytirish maqsadga muvofiq ekanligi ravshan bo’lib qoldi.
Bazi bir belgilashlar va tushunchalarni kiritamiz.N, Q, R va C lar mos ravishda natural, ratsional, haqiqiy va kompleks sonlar to’plamlari.G to’plamning ixtiyoriy atrofini orqali, markazi kordinatalar boshida va radiusi ga teng bo’lgan ochiq sharni orqali belgilaymiz.
dagi biror shardan tashqarida nolga teng bo’lgan funksiya finit funksiya deyiladi. funksiyaning qiymati nolga aylanmaydigan nuqtalar to’plamining yopig’iga uning tashuvchisi deyiladi va supp kabibelgilanadi.
Faraz qilaylik, ixtiyoriy ochiq to’plam bo’lsin. to’plamda cheksiz marta differensiallanuvchi funksiyalar fazosini deb, to’plamda kompakt tashuvchiga ega bo’lgan cheksiz differensiallanuvchi funksiyalar fazosini deb, da hosilalari bilan birgalikda ning istalgan darajasidan tez kamayuvchi cheksiz marta differensiallanuvchi funksiyalar fazosini deb belgilaymiz.Bu fazolar bo’lganda o’zaro quyidagicha munosabatda bo’ladilar.E, D, S – fazolar asosiy funksiyalar fazolari deb yuritiladi.
Biz asosan fazo bilan ish ko’ramiz. Shu sababli asosiy funksiyalar fazosiga qarashli bo’lgan aynan nolga teng bo’lmagan funksiyalarga misollar keltiramiz.
2-misol. Quyidagi lemmadan D fazoga qarashli bo’lgan juda ko’p funksiyalar qurish mumkinligi kelib chiqadi.
Lemma. Istalgan G soha va ixtiyoriy son uchun shunday funksiya mavjud bo’lib, u
shartlarni qanoatlantiradi. [2]
Agar - to’plamning xarakteristik funksiyasini deb belgilasak, u holda
tenglik bilan aniqlangan funksiya lemmaning shartlarini qanoatlantiradi.Xususiy holda, agar G=(a,b) bo’lsa, ning grafigini quyidagicha tasvirlash mumkin.
3-misol. R da 2- misolda qurilgan funksiya yordamida nol nuqtagi tartibli hosilasi berilgan ketma-ketlikning n-hadiga teng bo’lgan asosiy funksiyani qurish mumkin.Bu funksiya ko’rinishda bo’ladi.
Mashq. 3-misoldagi qator va uni k marta hadlab differensiallashdan hosil bo’lgan qatornog tekis yaqinlashishini isbotlang.
Endi D asosiy funksiyalar fazosida yaqinlashish tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif. Agar - asosiy funksiyalar ketma ketligi va asosiy funksiya uchun quyidagi
2. - multiindeks uchun shartlar bajarilsa, u holda ketma-ketlik fazoda funksiyaga tekis yaqinlashadi deyiladi.
Misol. ”Qalpoqcha” funksiyasi yordamida tuzilgan va ko’rinishdagi umumiy hadlarga ega bo’lgan ketma-ketliklarni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Ta’rifda keltirilgan shartlarni tekshiramiz:
1.”Qalpoqcha” funksiyasining aniqlanishiga ko’ra supp [-1,1] bo’ladi.
2. , chunki shunday M>0 soni mavjudki, bo’lib, , yani { } ketma-ketlik fazoda nolga yaqinlashar ekan.
Umumiy hadi ko’rinishda bo’lgann ketma-ketlik ham “qalpoqcha funksiyaning aniqlanishiga ko’ra 1- shartni qanoatlantiradi.2-shart esa bajarilmaydi, chunki
Demak, bu ketma-ketlik D fazoda yaqinlashmas ekan.