Mundarija: Ⅰ. Bobning umumiy nomi : Davriy funksiyalar sinfi, Ularning xossalari

1.2 Davriy funksiyalar va ularning xossalari.

Funksiyaning asosiy davri nima. Funksiyani davriylik uchun tekshirish. Davriy funksiyalarga misollar va ularning grafiklari

Argumentning ma'lum bir muntazam oralig'ida uning qiymatlarini takrorlash, ya'ni argumentga nolga teng bo'lmagan nolga teng raqam qo'shilganda uning qiymatini o'zgartirmaslik ( davri funktsiyalari) ta'rifning butun maydoni bo'ylab.
Rasmiyroq qilib aytganda, funktsiya davr bilan davriy deb aytiladi T ≠ 0 (displaystyle Tneq 0), agar har bir nuqta uchun x (displaystyle x) uning nuqta aniqlash maydonidan x + T (displaystyle x+T) va x − T (displaystyle x-T) uning ta'rif sohasiga ham tegishli va ular uchun tenglik f (x) = f (x + T) = f (x - T) (displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).
Ta'rifga asoslanib, tenglik davriy funktsiya uchun ham amal qiladi f (x) = f (x + n T) (displaystyle f(x)=f(x+nT)), qayerda n (\displaystyle n)- har qanday butun son.
Biroq, agar davrlar to'plami ( T , T > 0 , T ∈ R ) (displaystyle (T,T>0,Tin mathbb (R) )) mavjud eng kichik qiymat, keyin u deyiladi asosiy (yoki asosiy) davr funktsiyalari.

Misollar

Sin(x + 2π) = sinx, cos(x + 2π) = cosx, ∀ x ∈ R. (displaystyle sin(x+2πi)=sin x, cos(x+2πi)=cosx, quad forall x in mathb (R).

• 
  Dirixlet funktsiyasi davriy, uning davri nolga teng bo'lmagan har qanday ratsional sondir. Bundan tashqari, uning asosiy davri yo'q.
  

va T 2 (displaystyle T_(2))(Biroq, bu raqam oddiygina davr bo'ladi). Masalan, funktsiya f (x) = sin(2 x) − gunoh (3 x) (displaystyle f(x)=sin(2x)-sin(3x)) asosiy davr hisoblanadi 2 p (displaystyle 2pi ), funksiyada g (x) = sin (3 x) (displaystyle g(x)=sin(3x)) davri hisoblanadi 2 p 3 (displaystyle 2pi3), va ularning yig'indisi f (x) + g (x) = sin (2 x) (displaystyle f(x)+g(x)=sin(2x)) asosiy davr aniq tengdir p (displaystyle pi).

• 
  Davrlari taqqoslanmaydigan ikkita funktsiyaning yig'indisi har doim ham davriy bo'lmagan funktsiya bo'lavermaydi.
  

X argumenti, agar har qanday x F(x + T) = F(x) uchun T raqami bo'lsa, u davriy deb ataladi. Bu T soni funksiyaning davri deb ataladi.
Bir necha davrlar bo'lishi mumkin. Masalan, F = const funktsiyasi argumentning har qanday qiymatlari uchun bir xil qiymatni oladi va shuning uchun har qanday raqamni uning davri deb hisoblash mumkin.
Odatda funktsiyaning nolga teng bo'lmagan eng kichik davri qiziqtiradi. Qisqartirish uchun u oddiygina davr deb ataladi.
davriy funktsiyalar - trigonometrik: sinus, kosinus va tangens. Ularning davri bir xil va 2p ga teng, ya'ni sin(x) = sin(x + 2p) = sin(x + 4p) va hokazo. Biroq, albatta, trigonometrik funktsiyalar yagona davriy emas.
Oddiy, asosiy funktsiyalarga kelsak, ularning davriyligini yoki davriyligini aniqlashning yagona yo'li hisob-kitoblardir. Lekin uchun murakkab funktsiyalar allaqachon bir nechtasi bor oddiy qoidalar.
Agar F(x) T davriga ega bo‘lsa va uning uchun hosila aniqlangan bo‘lsa, bu hosila f(x) = F′(x) ham T davriga ega davriy funktsiyadir. Axir, hosilaning qiymati x nuqta bu nuqtada uning anti hosilasi grafigi tangensining x o'qiga teng bo'ladi va antihosil davriy takrorlanganligi sababli hosila ham takrorlanishi kerak. Masalan, sin(x) funksiyaning hosilasi cos(x) va u davriydir. cos(x) ning hosilasini olish sizga -sin(x) ni beradi. Davriylik o'zgarishsiz qoladi.
Biroq, buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Shunday qilib, f(x) = const funksiya davriy, lekin uning anti hosilasi F(x) = const*x + C emas.
Agar F(x) davriy funktsiya T davri bo'lsa, u holda G(x) = a*F(kx + b), bu erda a, b va k doimiylar va k nolga teng emas - shuningdek davriy funktsiya, va uning davri T/k ga teng. Masalan, sin(2x) davriy funktsiya bo'lib, uning davri p ga teng. Vizual ravishda buni quyidagicha ifodalash mumkin: x ni qandaydir songa ko'paytirish orqali siz funktsiya grafigini gorizontal ravishda aynan shuncha marta siqasiz.
Agar F₁(x) va F₂(x) davriy funksiyalar bo‘lib, ularning davrlari mos ravishda T₁ va T₂ ga teng bo‘lsa, bu funksiyalarning yig‘indisi davriy ham bo‘lishi mumkin. Biroq, uning davri T₁ va T₂ davrlarining oddiy yig'indisi bo'lmaydi. Agar T₁/T₂ ni bo‘lish natijasi ratsional son bo‘lsa, u holda funksiyalar yig‘indisi davriy bo‘lib, uning davri T₁ va T₂ davrlarining eng kichik umumiy karrali (LCM) ga teng bo‘ladi. Misol uchun, agar birinchi funktsiyaning davri 12, ikkinchisining davri esa 15 bo'lsa, unda ularning yig'indisi davri LCM (12, 15) = 60 bo'ladi.
Vizual ravishda buni quyidagicha ifodalash mumkin: funktsiyalar turli xil "qadam kengliklari" bilan birga keladi, ammo agar ularning kengliklarining nisbati oqilona bo'lsa, ertami-kechmi (aniqrog'i, bu qadamlar LCM orqali) ular teng bo'ladi. yana va ularning yig'indisi boshlanadi yangi davr.
Biroq, agar davrlar nisbati irratsional bo'lsa, u holda umumiy funktsiya umuman davriy bo'lmaydi. Masalan, F₁(x) = x mod 2 (x ning qolgan qismi 2 ga bo'lingan) va F₂(x) = sin(x) bo'lsin. Bu erda T₁ 2 ga, T₂ esa 2π ga teng bo'ladi. Davrlar nisbati π ga teng - irratsional son. Shuning uchun sin(x) + x mod 2 funksiya davriy emas.
E'tibor bering, o'quv va uslubiy adabiyotlarda davriylik muammolari qiyin taqdirga ega. Bu g'alati an'ana bilan izohlanadi - davriy funktsiyalarni belgilashda u yoki bu beparvolikka yo'l qo'yish. munozarali qarorlar va imtihonlarda hodisalarni keltirib chiqaradi.
Masalan, kitobda Izohli lug'at matematik atamalar "- M, 1965, quyidagi ta'rif berilgan:" davriy funktsiya - funktsiya.
y = f(x), buning uchun t > 0 soni mavjud, u barcha x va x + t sohasi uchun f(x + t) = f(x).
Keling, ushbu ta'rifning noto'g'riligini ko'rsatadigan qarama-qarshi misol keltiramiz. Ushbu ta'rifga ko'ra, funktsiya davriy t = 2π davri bilan
s(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 davriy funktsiyalar haqidagi umumiy qabul qilingan nuqtai nazarga zid bo'lgan cheklangan ta'rif sohasi bilan.
Shunga o'xshash muammolar maktab uchun eng yangi muqobil darsliklarning ko'pchiligida paydo bo'ladi.
A. N. Kolmogorovning darsligida quyidagi ta’rif berilgan: “F funksiyaning davriyligi haqida gapirganda, shunday T ≠ 0 son bor, deb hisoblashadi, D (f) ta’rif sohasi har bir x nuqta bilan birgalikda quyidagi nuqtalardan olingan nuqtalarni o‘z ichiga oladi. x o'qi bo'ylab parallel ko'chirish orqali (o'ng va chap) T masofaga. f funktsiya chaqiriladi davriy nashr T ≠ 0 davri bilan, agar ta'rif sohalaridan birortasi uchun x, x - T, x + T nuqtalarida ushbu funktsiyaning qiymatlari teng bo'lsa, ya'ni. f (x + T) f (x - T) ". Keyinchalik darslikda shunday deyilgan: "Sinus va kosinus butun son chizig'ida aniqlanganligi sababli Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) Cos x har qanday x, sinus va kosinus uchun 2π davriga ega bo'lgan funktsiya davridir.
Ba'zi sabablarga ko'ra, bu misol shartning ta'rifida nima talab qilinishini tekshirmaydi
Sin (x - 2π) Sin x. Nima gap? Gap shundaki, bu shart ta'rifda ortiqcha. Haqiqatan ham, agar T > 0 f(x) funksiyaning davri bo‘lsa, T ham shu funksiyaning davri bo‘ladi.
M.I.Bashmakovning “Algebra va 10-11 katakchada analizning boshlanishi” darsligidan yana bitta ta’rif bermoqchiman. “f(x) funksiyasi davriy deyiladi, agar shunday T ≠ 0 soni bo'lsa, tenglik
f(x + T) = f(x) x ning barcha qiymatlari uchun bir xil amal qiladi.
Yuqoridagi ta'rif funktsiya doirasi haqida hech narsa aytmaydi, garchi u ta'rif doirasidan x ni bildiradi, hech qanday haqiqiy x emas. Ushbu ta'rifga ko'ra, y=Sin (√x) funktsiyasi davriy bo'lishi mumkin , faqat x ≥ 0 uchun aniqlangan, bu to'g'ri emas.
Yagona davlat imtihonida davriylik uchun vazifalar mavjud. Bir ilmiy davriy jurnalda, USE ning C bo'limi uchun mashg'ulot sifatida muammoning echimi berilgan: "funktsiya y(x)=Sin2(2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) davriy?
Yechim shuni ko'rsatadiki, javobda y(x - p) y(x) - qo'shimcha yozuv
"T = p" (axir, eng kichik ijobiy davrni topish masalasi ko'tarilmaydi). Bu muammoni hal qilish uchun haqiqatan ham murakkab trigonometrik shakllanishni amalga oshirish kerakmi? Axir, bu erda muammoning holatida kalit sifatida davriylik kontseptsiyasiga e'tibor qaratishingiz mumkin.
F₂ (x) = Cos x - davriy funktsiya T = 2π, keyin 2π - davr va f funktsiyalar uchun 3(x) = Sin(2+x) va f₄ (x) = Cos (2 + x), (bu davriylik ta'rifidan kelib chiqadi)
F₅ (x) = - 2 Sin 2 = Const, uning davri istalgan son, shu jumladan 2π.
Chunki umumiy davri T bo'lgan davriy funktsiyalarning yig'indisi va ko'paytmasi ham T-davriy, u holda berilgan funksiya davriy.
Umid qilamanki, ushbu ishda taqdim etilgan material singlga tayyorgarlik ko'rishda yordam beradi davlat imtihoni davriylik uchun muammolarni hal qilishda.
Davriy funksiyalar va ularning xossalari.
Ta'rif: f(t) funktsiya davriy deyiladi, agar ushbu funktsiyaning aniqlanish sohasidan istalgan t uchun D f(x) ≠ 0 raqami mavjud, shundayki:
1) raqamlar (t ± π);
2) f(t + π) = f(t).
1. Agar π soni = f (t) funksiyaning davri bo'lsa, u holda kō soni, bu erda k = ±1, ±2, ±3, … f(t) funksiyaning davrlari hamdir.
MISOL f(t) = Sint. T = 2π soni bu funktsiyaning eng kichik musbat davridir. T 1 = 4π. Keling, shuni ko'rsatamizki, T₁ bu funksiyaning davri ham hisoblanadi.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Shunday qilib, T f (t) = Sin t funksiyaning davri.
2. Agar f(t) - funksiya davriy funktsiya bo'lsa, f (at), bu erda a ê R va f (t + c), bu erda C ixtiyoriy konstanta ham davriydir.
f(at) funksiyaning davrini toping.
Demak, f(at) funksiyaning davri –.
O'RNAK 1. y = 3Sin2x y = Sin2x funksiyaning davrini toping.
2-misol. Sin (t + π / 3) funksiyasining davrini toping.
f(t) = Sin t bo'lsin; Sin (π + π / 3).
U holda f(t) = Sin t funksiyasi ham y qiymatini oladi t = t₀+ π/3 uchun 0.
Bular. y funksiya oladigan barcha qiymatlar f(t) funksiyasi tomonidan ham qabul qilinadi. Agar t vaqt deb talqin qilinsa, u holda y ning har bir qiymati y₀ Sin (t + π / 3) funktsiyasi f (t) funktsiyasidan π / 3 ga chapga "siljish" dan π / 3 vaqt birligi oldin olinadi. Shubhasiz, funktsiyaning davri bundan o'zgarmaydi, ya'ni.
3. Agar F(x) qandaydir funksiya va f(t) davriy funksiya bo‘lsa, f(t) F(x) – D funksiya sohasiga tegishli bo‘lsa. F , u holda F(f (t)) funksiya davriy funktsiyadir.
F(f (t)) = ph bo'lsin.
PH (t + π) = F(f (t + π)) = F(f (t)) = ph (t) har qanday t ê D uchun f.
MISOL: Davriylik funksiyasini tekshirib ko‘ring: F(x) = ℓ gunoh x.
Ushbu funktsiya doirasi D f ko'pchilikka mos keladi haqiqiy raqamlar R. f (x) Sin x.
Ushbu funktsiyaning qiymatlari to'plami [-1; 1]. Chunki segment [-1; 1] D ga tegishli f , u holda F(x) funksiya davriydir.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π - bu funksiyaning davri.
4. Agar f₁ (t) va f₂ funksiyalari (t) davriy, mos ravishda, davrlari bilan 1 va 2 va 1 / 2 = r, bu erda r - ratsional son, keyin funktsiyalar
S₁ f₁ (t) + S₂ f₂ (t) va f₁ (t) f₂ (t) davriy (C1 va C 2 doimiylar).
Eslatma: 1) Agar r = 0 bo'lsa 1 / 2 = p/q, chunki r - ratsional son, demak
1 q = 0 2 π = 0, bu erda 0 sonlarning eng kichik umumiy karrali 1 va 2 (LCM).
C funktsiyasini ko'rib chiqing f₁ (t) + C₂ f₂ (t).
Haqiqatan ham, 0 = LCM (1 , 2 ) - bu funktsiyaning davri S₁ f₁ (t) + S₂ f₂ (t) = S f₁ (t+ 1 q) + S₂ f₂ (t+ 2 π) + S₁ f₁ (t) + S₂ f₂ (t) .
2) funksiyaning davri 1 (t) f₂ (t), chunki
F₁ (t + ō) f₂ (t + π ) f₁ (t + 1 q) f₂ (t \ 2 π) f₁ (t) f₂ (t).
Ta'rif: f bo'lsin 1 (t) va f (t) mos ravishda 0 ga teng davrli davriy funksiyalardir 1 va 2 , keyin ikki davr, agar solishtirish mumkin deyiladi 1 / 2 0= r - ratsional son.
3) Agar davrlar 1 va 2 bo'lsa oʻlchovli emas, u holda funksiyalar F₁ (t) + f₂ (t) va f₁ (t) f₂ (t) davriy emas. Ya'ni, agar f₁ (t) va f₂ (t) doimiydan farq qiladi, davriy, uzluksiz, ularning davrlari mutanosib emas, keyin f₁ (t) + f₂ (t), f₁ (t) f₂ (t) davriy emas.
4) f(t) = S bo'lsin, bu erda S ixtiyoriy doimiy. Bu funksiya davriydir. Uning davri har qanday ratsional sondir, ya'ni u eng kichik ijobiy davrga ega emas.
5) bayonoti uchun ham to'g'ri Ko'proq funktsiyalari.
1-misol. Funksiyaning davriyligini o‘rganing
F(x) = Sin x + Cos x.
Qaror. F₁ (x) = Sin x, keyin 1 = 2 πk bo'lsin, bu erda k ê Z.
T₁ = 2 π - eng kichik ijobiy davr.
T₁ / T₂ nisbati = 2π/2π = 1 - ratsional son, ya'ni. funktsiya davrlari f₁ (x) va f₂ (x) mutanosibdir. Demak, bu funksiya davriydir. Keling, uning davrini topamiz. Davriy funktsiyaning ta'rifi bo'yicha biz bor
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) - Sin x Cos x - Cos (x + T),
2. Cos 2x + π/ 2 Sin T / 2 2 Sin 2x + T / 2 Sin T / 2,
Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2),
√2 Sin T / 2 Sin (π/ 4 - T + 2x / 2 shuning uchun,
Sin T/2 = 0, keyin T = 2 πk.
Faraz qilaylik, f(x) qat'iy monoton va D ta'rifining butun maydonida f , masalan, ortadi. Keyin har qanday x uchun ortib borayotgan funktsiyaning ta'rifi bilan 1 va x 2 D domenidan f(x) tengsizligidan 1 2 shundan kelib chiqadiki, f(x₁) 2 ). Xususan, x shartidan shundan kelib chiqadi.
F(x₀ ) x+T), bu shartga zid keladi.
D(x) = D(-x), D(x) funksiyaning aniqlanish sohasi simmetrikdir.
Direchlet funksiyasi D(x) juft davriy funksiyadir.
f(x) = (x),
f (-x) ≠ (x).
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) toq emas.
f(x) = tg x toq davriy funksiya.
Funksiyalarning qaysi biri davriy, davrni toping?
1. f (x)=Sin 2x, 10. f (x) =Sin x / 2 + tg x,
2. f (x)=Cos x / 2, f (x)=Sin 3x + Cos 4x,
3. f (x)=tg 3x, f (x)=Sin 2 x+1,
4. f(x) = Cos (1 - 2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,
5. f (x)= Sin x Cos x, f (x)=Sin π x + Cos x,
6. f (x)=ctg x / 3, f (x)= x 2 - E (x 2),
7. f (x)=Sin (3x - p / 4), f (x)=(x - E (x)) 2 ,
8. f (x)=Sin 4 x + Cos 4 x, f (x)=2 x - E (x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, agar n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
f(x) - T davriy funktsiya bo'lsin. Funksiyalarning qaysi biri davriy (T ni toping)?

1. 
   ph(x) = f(x + l) davriydir, chunki Ox o'qi bo'ylab "shift" ō ga ta'sir qilmaydi; uning davri ō = T.
   
2. 
   ph(x) = a f(x + l) + v davriy funksiya π = T davri.
   
3. 
   ph(x) = f(kx) davriy funksiya π = T/k.
   
4. 
   ph(x= f (ax + b) - davriy funktsiya π = T / a davriga ega.
   
5. 
   ph(x) = f(√x) davriy emas, chunki uning ta'rif sohasi Dφ = (x/x ≥ 0), davriy funktsiyaning aniqlanish sohasi yarim o'q bo'lishi mumkin emas.
   
6. 
   ph(x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) davriy funktsiyadir, chunki ph (x + T) f (x + T) + T₁ / f (x + T) – T₁.
   

Aks holda, chunki Ushbu funktsiyaning ta'rif sohasi butun son chizig'i, keyin f - E funktsiyasi qiymatlari to'plamidir f ê D s , shuning uchun funktsiya ph(x) davriy va π = T.

1. 
   ph(x) = √ph(x), f(x) ≥ 0
   

ph(x) davriy ō = T davri bilan, chunki har qanday x uchun f(x) funktsiyasi f(x) ≥ 0 qiymatlarini oladi, ya'ni. uning qiymatlari to'plami E f ê D ph , qayerda