Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

2-теорема. Агар n≥ 2 натурал сон бўлса, n -туб сон учун

тенгсизликлар системаси ўринли. Логарифмик функциянинг таърифига кўра бу ерда, n≥ 2 деб олиш кераклигини уқтириб ўтамиз, чунки .

Исботи. Маълумки сонли функция натурал сонидан кичик туб сонлар сонини ифодалаовчи функциядир. Бундан фойдаланиб ихтиёрий

туб сони учун n ўринли бўлишлигини эътиборга олсак (2) Чебишев тенгсизлиги қуйидаги кўринишга келади:

(3) нинг ўнг томонидан

келиб чиқади, аммо бўлганлиги сабабли

бажарилади. (3) нинг чап томонидан

келиб чиқади. Шунингдек (3) нинг чап томонидан

га ҳам эга бўламиз. Аммо етарлича катта n лар учун

чунки

Шунинг учун ҳам етарлича катта лар учун (6) дан

ёки

(7)

келиб чиқади. (7) ни инобатга олиб (5) дан етарлича катта

лар учун

га, бундан эса

( 8)

га эга бўламиз. Агар (8) да доимийни етарлича катта қилиб танлаб олсак, (8) барча n≥ 2 лар учун бажарилади.

(4) ва (8) дан исботланиши талаб этилаётган тенгсизликка эга бўламиз:


(9)

Бу ерда ва деб олдик.

Таъкидлаш керакки, (7) дан етарлича катта лар учун эканлиги келиб чиқади. Шунингдек (9) дан

нинг узоқлашувчи эканлиги келиб чиқади.

Энди 2-теоремадаги ва ларнинг сон қийматларини аниқлаймиз. Бунда етарлича катта лар учун (2 ) тенгсизликдан фойдаланамиз. У ҳолда

ва

ларга эга бўламиз.

бўлганда эса бизга олдиндан маълум бўлган
(10)
баҳодан фойдаланамиз. Бунда



ва

бўлгани учун

ва

ларни ҳосил қиламиз. Натижада қуйтдаги хулосага келамиз.

1). Агар n етарлича катта натурал сон бўлса, туб сон учун

қўш тенгсизлик ўринли.

2). шартни қаноатлантирувчи n лар учун эса

қўш тенгсизлик ўринли.

Энди 1-теореманинг исботини қараймиз.