Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

ҳақиқий сони мавжудки, туб сонни,

тенглик билан аниқлаш мумкин” – деган натижлари ҳам амалий тадбиқларда Миллсники сингари камчиликларга эга.

4-§. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар ҳақида.

Барча қийматлари туб сонлардан иборат бутун коэффициентли кўпҳадларнинг мавжуд эмаслиги исботланганидан кейин иккинчи масала: аргумент нинг чексиз кўп натурал қийматларида турли туб сон қийматларни қабул қилувчи бутун коэффициентли кўпҳад мавжудми? – деган масала келиб чиқади. Бундай биринчи даражали кўпҳадлар мавжуд экан, лекин бирорта ҳам даражаси бўлган кўпҳад аниқланмаган ва уларнинг йўқ эканлиги ҳам исботланмаган, яъни бу масала очиқ қолмоқда.

Хусусий ҳолда кўринишдаги арифметик прогрессияларни ҳам кўринишдаги кўпҳадлар сирасига киритиш мумкин. Бундай кўринишдаги ҳар бир арифметик прогрессияда чексиз кўп туб сонлар мавжудлиги ғоясини биринчи бўлиб 1788-йилда франсуз математиги А. М. Лежандр илгари сурган. Унинг исботини эса умумий ҳолда 1837-йилда немис математиги Л. Дирихле берган. Бу натижанинг умумий ҳолдаги исботи анча мураккаб бўлгани учун нинг хусусий ҳоли бўлган прогрессиядаги туб сонлар сонининг чексиз кўплигини исботлаш билан чегараланамиз. Бунинг учун бутун сонлар тўплами ни қуйидагича ўзаро кесишмайдиган синфларга ажратамиз. Биринчи синфга барча 4 га каррали ( кўринишдаги) сонларни, иккинчи синфга барча 4 га бўлганда 1 қолдиқ қолувчи ( кўринишидаги) сонларни, учинчи синфга барча 4 га бўлганда 2 қолдиқ қолувчи ( кўринишидаги) сонларни, ва ниҳоят тўртинчи синфга барча 4 га бўлганда 3 қолдиқ қолувчи ( кўринишидаги) сонларни киритамиз. У ҳолда



деб ёза оламиз. Маълумки, синфларда бўлган туб сонлар мавжуд эмас. Демак, бундан бўлган туб сонлар ва кўринишларда бўлишлиги келиб чиқади.

Энди биз прогрессиядаги туб сонлар сонининг чексиз кўплигини кўрсатамиз. кўринишдаги бутун сонларни кўринишда ёзиш ҳам мумкин. Фараз қилайлик кўринишдаги туб сонларнинг сони чекли бўлиб, лардан иборат ва бўлсин. Ушбу сонини қараймиз. Бу тоқ сон унинг барча бўлувчилари 4к+1 кўринишда бўлиши мумкин эмас, чунки 2 та ва кўринишдаги сонларнинг кўпайтмаси ҳам яна шундай кўринишга эга бўлади. Ҳақиқатдан ҳам .

эса кўринишда ва лардан бирортасига ҳам бўлинмайди. Демак, унинг ҳеч бўлмаса бирорта кўринишдаги туб бўлувчиси мавжуд. Бу эса бизнинг кўринишдаги туб сонларнинг сони чекли n та бўлсин деган фаразимизга қарама-қарши. Шунинг учун ҳам кўринишдаги туб сонларнинг сони чексиз кўпдир.

кўринишдаги арифметик прогрессиядаги туб сонларнинг чексиз кўп эканлигини ҳам шунга ўхшаш йўл билан кўрсатиш мумкин.

Умумий ҳолда ҳар қандай арифметик прогрессияда туб сонлар сонининг чексиз кўп эканлигини юқорида қайд этилганидек Л.Дирихле берган бўлсада, ундан кейин бу нарсанинг бир нечта исботи топилди. Яқинда Роишов А.Р. элементар исботини берди.