Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

2. Жуфт мукаммал сонларнинг ифодаланиши. Платоннинг ёзишича Евклид жуфт сонининг мукаммал бўлишлигининг етарли шартини топган. У қуйидаги теоремадан иборат:

1-теорема (Евклид теорeмаси). сони кўринишга эга бўлиб, туб сон бўлса, у ҳолда сони мукаммал сон бўлади. Бунда натурал сон.

Исботи. ҳақиқатдан ҳам бўлгани учун (3) формуладан



эканлиги келиб чиқади. Демак, таърифга кўра сони мукаммал сон.

бўлганда исботланган теореманинг нинг туб бўлишлик шарти лар учун бажарилади ва бу ҳолда бўлиб мукаммал сонларга эга бўламиз.

Евклиддан сўнг бу соҳада муҳим ютуқларга эришган олим Л. Эйлердир. У Евклиддан 2000-йил кейин юқорида исботланган Евклид теорeмасида келтирилган етарли шартнинг зарурий шарт ҳам бўлишлигини исботлади. Эйлер исботлаган натижани қуйидагича ифодалаш мумкин:

2-теорема (Л.Эйлер теорeмаси). Ҳар бир жуфт мукаммал сон

кўринишга эга. Бу ерда натурал сон ва туб сон.

Исботи. жуфт сон бўлгани учун уни кўринишда ёза оламиз. Бунда натурал сон ва тоқ сон. Демак, ва Бу ердаги функциянинг мултипликатив (яъни у айнан нолга тенг эмас ва лар учун ) функция бўлгани учун



бажарилади.

Агар мукаммал сон бўлса, у ҳолда бўлади. Шундай қилиб



Бу охирги тенгликдан фойдаланиб нинг кўринишини топишимиз мумкин.

бўлгани учун бу тенгликдан нинг га бўлиниши келиб чиқади: яъни деб ёза оламиз. Бу ерда натурал сон. Буни юқоридаги тенгликга олиб бориб қўйсак тенгликга эга бўламиз. сони албатта иккита ҳар хил бўлувчи ва (чунки бўлса, бўлади) га эга. Лекин бўлувчиларнинг йиғиндиси га тенг бўлгани учун нинг шу иккита бўлувчисидан бошқа бўлувчиси йўқ. туб сон бўлгандагина фақат икки бўлувчига (1 ва ) эга бўлгани учун туб сон ва демак, туб сон. Шундай қилиб, ҳақиқатдан ҳам жуфт мукаммал сони кўринишга эга. Теорема исбот бўлди.

Евклид ва Эйлер теоремалари кўрсатадики, ҳар бир жуфт мукаммал сон



кўринишда ифодаланар экан. Бу ерда натурал сон ва туб сон. Ўтган асрнинг 50-йилларида мукаммал сонлар назарияси янги маълумотлар билан бойитилди. Жумладан мукаммал сонларнинг натурал қатордаги зичлиги учун юқоридан



баҳо исботланди. Бунда билан дан катта бўлмаган мукаммал сонларнинг сони белгиланган.