Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

3-теорема. бўлганда сонининг ҳар бир туб бўлувчиси


кўринишда бўлади.

Исботи. Агар сони га бўлинса



бўлади. Бундан

.

Демак, 2 сони модули бўйича кўрсаткичга тегишли. Лекин , акс ҳолда ва . Булардан , яъни бўлар эди. Лекин тоқ сон бўлгани учун бундай бўлиши мумкин эмас. ҳам бўла олмайди, чунки агар сони модули бўйича кўрсаткичга тегишли бўлса, сон га бўлинади ва



бажарилади. Булардан



келиб чиқади. Бу эса юқорида қараб чиқилганига асосан мумкин эмас.

Шундай қилиб, сони модули бўйича кўрсаткичга тегишли ва бу даража кўрсаткичи нинг бўлувчиси бўлиши керак. Демак,



Шунинг учун ҳам Лежандр символи хоссаларига асосан да



ва

.

Демак, сони га бўлиниши керак, яъни , ёки , бундан исботлаши талаб этилган ифода келиб чиқади.

Исботланган теоремадан нинг мавжуд бўлиши мумкин бўлган туб бўлувчилари кўринишда бўлиши керак – деган хулоса келиб чиқади. ҳақиқатдан ҳам сони нинг бўлувчиси. Чунки бир томондан


ва
, (7)
иккинчи томондан эса



ва (8)

(6) ва (7) дан ёки

Шуни ҳам таъкидлаш керакки, маълум бўлган энг катта Ферма мураккаб сони да дан ортиқ рақам бор. Бунга сони та рақамли бўлиб, нинг энг кичик туб бўлувчиси эканлигига асосланиб ишонч ҳосил қилиш мумкин.