Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

3-§. Қийматлари туб сонлардан иборат бўлган функциялар.

Туб сонларни ўрганиш тарихи 2000 йилдан кўпроқ даврни ўз ичига олади. Эрамиздан аввалги III асрда яшаган юнон олими Евклид туб сонлар . сонининг чексиз кўп эканлигини исботлаган. Бунда у туб сонлар сони чекли та бўлиб, улар лардан иборат бўлсин деб олади ва сонини қарайди. Бу сон ларнинг бирортасига ҳам бўлинмайди. Демак, туб сон ёки лардан бошқа бирорта туб бўлувчига эга. Бу эса туб сонлар сони чекли та дейилганига зиддир, яъни туб сонларнинг сони чексиз кўп. Ушбу исбот Евклиднинг “Бошланғичлар” асарининг IX китобидаги 20-теорeмасида келтирилган бўлиб ҳозиргача мавжуд исботларнинг энг соддаси ҳисобланади. Натурал сонлар қаторида туб сонлар сонининг чексиз кўплигининг бошқа исботлари билан қизиқувчилар Л. Эйлер ва Г. Поя исботлари билан танишишлари мумкин.

Туб сонлар жуда қадимдан маълум бўлсада, унга математикларнинг қизиқиши ҳанузгача сўнгани йўқ. Бунинг иккита асосий сабаби бор: биринчидан туб сонлар жуда содда ва табиий аниқланган, иккинчидан бу сонлар билан ифодаланадиган баъзи математик хоссаларни умумий ҳолда исботлаш жуда қийин ёки умуман ҳозирча исботлаш йўли йўқ. Масалан, бундан 263-йил илгари Л. Эйлер ва Х. Голдбахлар томонидан баён қилинган гипотеза ҳозиргача ўз исботини топмади. Бу гипотеза Голдбахнинг бинар проблeмаси деб аталиб у қуйидагича: иккидан катта бўлган ҳар қандай жуфт сонни иккита туб соннинг йиғиндиси кўринишида ифодалаш мумкин. Бу гипотезанинг тўғрилигини дастлабки бир нечта жуфт сонлар учун текшириб кўриш осон (масалан: ва ҳоказо, замонавий компютерлардан фойдаланиб анча катта сонлар учун ҳам текшириб кўрилган), лекин уни умумий ҳолда исботлаш ҳозир ҳам муаммолигича қолмоқда.

Шунга ўхшаш яна бир исботланмаган гипотеза “эгизак” туб сонлар ҳақидаги Твин (Тwin) гипотезасидир. У қуйидагича: бўлган туб сонлар жуфти (масалан: чексиз кўп.

Шунингдек юқорида қаралган туб (мураккаб сонлар) сони (берилган учун) чексиз кўп деган муаммо ҳам очиқ қолмоқда.

Туб сонлар билан боғлиқ бўлган бундай гипотезаларни кўплаб келтириш мумкин.

Маълумки, туб сонлар натурал сонлар қаторида текис тақсимланмаган. Масалан, (1,100) оралиқдаги натурал сонларнинг 25% и туб сон бўлса, (101,200) оралиқда 21%, (201,300) оралиқда 16%, (1,1000) оралиқда эса 16,8% туб сонлар бор. Шунинг учун ҳам туб сонлар тақсимотини ўзида ифодаловчи функцияни излаш табиий бир ҳолдек бўлиб кўринар эди. х нинг барча натурал қийматларида фақат ҳар хил туб сонга тенг қиймат қабул қилувчи бутун коэффициентли кўпҳадни топиш кўпчиликни узоқ вақт қизитириб келган.

Л. Эйлер ва бошқа олимлар томонидан бундай кўпҳадлар топилди, лекин кейинчалик маълум бўлдики уларнинг бирортаси ҳам аргументнинг барча натурал қийматларида турли туб қиймат қабул қилмас экан. Масалан:

кўпҳад бўлганда;

кўпҳад бўлганда;

кўпҳад бўлганда;

кўпҳад бўлган

қийматларда турли туб сонларга тенг қийматлар қабул қилади, лекин нинг бошқа баъзи қийматларида эса мураккаб сонга тенг қиймат қабул қилар экан. Кейинчалик ушбу теорема исботланди.