Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

Теореманинг исботи. Аввало шундай нинг мавжуд эканлигини кўрсатамизки, ва бўлганда

бажарилади. Бунда билан модули бўйича ҳақиқий примитив характер белгиланган. Бу ердан теореманинг тасдиғи келиб чиқади.

Фараз қилайлик кесмада нинг ноли мавжуд бўлган мавжуд бўлмасин. ўринли бўлган шартни қаноатлантирувчи нинг энг кичик қийматини билан белгилаймиз. У ҳолда учун (4.3) бажарилади. Энди Фараз қилайлик шундай мавжуд бўлиб унга мос функция кесмада нолга эга бўлсин. Бунда билан модули бўйича ҳақиқий примитив характер белгиланган. Ҳозирча шартни қаноатлантирувчи ихтиёрий натурал сон ва эса модули бўйича ҳақиқий примитив характер бўлсин. У ҳолда бўлгани учун бўлади.

бўлгани учун 3.1-леммага асосан

бажарилади. Бу ерда

Шундай қилиб,

Бу ердаги ларни баҳолаш учун 1.3.4-лемманинг натижасидан фойдаланамиз. Унга кўра агар , бўлса, бўлади. Бундан фойдаланиб юқоридаги тенгсизликни қуйидагича ёзиш мумкин:

Энди ни

бажариладиган даражада катта қилиб танлаб оламиз. У ҳолда барча лар учун

тенгсизлик ўринли бўлади. Бунда билан модули бўйича ҳақиқий примитив характер белгиланган. Бу ерда ўрта қиймат ҳақидаги теоремани қўллаймиз. Унга асосан бажарилганда бажарилади. Бундан

ни баҳолаш учун

дан фойдаланамиз. Уҳолда ва бўлганда

бўлади. Энди, агар деб олсак (4.3) исботланган бўлади. Шундай қилиб теорема исбот бўлди.