Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

Исботи. бўлганда 1.3.4-лемманинг натижасига кўра

_,

бунда функциянинг аниқланишига кўра

Бу ерда

_{эканлигидан фойдаландик.}

нинг бу охирги баҳоси (1.3.7)-функционал тенглама ва



га asosan бўлганда ҳам ўринли. Бундан ташқари да бўлганлиги сабабли юқоридаги 2.1-леммадан теореманинг биринчи тасдиғи келиб чиқади. да бўлгани учун (1.3.7) дан da эканлиги,яъни функциянинг ноллари функциянинг йўлакдаги ноллари бўлади. Теорема тўла исбот бўлди.

Натижа. Ушбу формула ўринли

(2.1)

бу yеrda o’zгаrmas сонlar.

₍₁.3.7) функционал тенгламадан функциянинг тривиал бўлмаган ноллари тўғри чизиққа нисбатан симметрик жойлашган. Бундан кейин биз ноллар ни уларнинг мавҳум қисмлари абсолют қийматларининг ўсиб бориши тартибида номерланган деб қараймиз.

Энди нинг нинг тривиал бўлмаган ноллари орасидаги боғланишни келтириб чиқарамиз. Бунинг учун аввало (2.1) нинг иккала томонини логарифмлаб, кейин дифференциаллаймиз, у ҳолда қуйидагига эга бўламиз:

Бундан ва (1.3.7) дан

ни ҳосил қиламиз. Бунда шунинг учун ҳам ва лар нинг ноллари ва

(2.2)

тенгликка эга бўламиз.

Маълумки, Риман ζ(s) функциянинг ноллари тўғрисидаги қуйидаги гипотезани илгари сурган эди. ζ(s) функциянинг барча тривиал бўлмаган ноллари тўғри чизиқ устида ётади. Бу тасдиққа Риман гипотезаси дейилади. Кейинчалик бу тасдиқ нинг ноллари учун умумлаштирилиб ”функциянинг барча тривиал бўлмаган ноллари тўғри чизиқ устида ётади” – деган тасдиқ вужудга келди ва уни Риманнинг ноллари ҳақидаги умумлашган гипотезаси деб атала бошланди.

Ҳозиргача бу иккала тасдиқ ҳам тўла исботланмаган. Лекин олинган кейинги натижаларнинг барчаси [8] шу Риманнинг гипотезалари деб аталувчи тасдиқларнинг тўғрилигини исботлашга асос бўлади.

Умуман функциянинг ноллари тўғрисида қуйидаги тасдиқ Пейдж томонидан исботланган: агар бўлиб бўлса, у ҳолда барча функциялар

(2.3)

соҳада комплекс нолга эга эмас. (2.3) соҳада нинг фақат

примитив характер учун битта ҳақиқий нолга эга бўлиши мумкин, у нол

қуйидаги тенгсизлик

. (2.4)

ни қаноатлантиради.

Зигел томонидан исботланган қуйидаги теорема юқоридаги (2.3) ва (2.4) баҳоларга нисбатан функциянинг ҳақиқий нолларининг аниқроқ чегарасини беради.