Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

МУНДАРИЖА.

1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар.

1-§. Туб сонлар мавжуд бўлган ва мавжуд бўлмаган оралиқлар ҳақида.......

2-§. n-туб соннинг ўсишини баҳолаш................................................................

3-§. Қийматлари туб сонлардан иборат бўлган функциялар.............................

4-§. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар ҳақида…………………………

5-§. Туб сонларнинг арифметик прогрессияси. …………………………

6-§. Махсус туб сонлар ва уларнинг баъзи хоссалари. …………………………

2-боб.Сонли функциялар.

1-§.натурал соннинг бўлувчилар сони ва бўлувчилар йиғиндиси........................ 2-§. Эйлер функцияси ва унинг хоссалари..............................................................

3-§. сонли функция...........................................................................................

4-§.Мёбиусс функцияси……………………………………………………………

3-боб. Риманнинг дзета функцияси.

1-§. Риманнинг дзета функциясининг таърифи ва асосий хоссалари...............

2-§. Дзета функциянинг функционал тенгламаси...............................................

3-§. Туб сон даражаси модули бўйича Дирихленинг характеристик функцияси ва унинг хоссалари.........................................................................

4-§. Примитив характерлар ва уларнинг хоссалари.............................................

5-§. Ихтиёрий модул бўйича Дирихле характерлари.........................................

4-боб. Риманнинг дзета функцияси ноллари ҳақида.

1-§. Риманнинг дзета функциясининг нолларининг комплекс текисликда жойлашуви ҳақида .................................................................................................

2-§. Дзета функциянинг ноллари ҳақидаги баъзи бир теоремалар.....................

5-боб. Дирихленинг L-функциясининг ноллари ҳақида.

1-§. Дирихле L-функциясининг таърифи ва содда хоссалари..........................

2-§.. Дирихленинг L-функциясининг нолларининг комплекс текисликда жойлашуви ҳақида....................................................................................................

3-§. функциянинг ҳақиқий нолларининг чегараси.Зигел теоремаси.......

1-БОБ. АРИФМЕТИК ПРОГРЕССИЯДАГИ ТУБ СОНЛАР.
1-§. Туб сонлар мавжуд бўлган ва мавжуд бўлмаган оралиқлар

ҳақида.
Маълумки, иккита кетма-кет келган тоқ туб сонлар ва бошқалар) билан бирга ихтиёрий к натурал сони учун қуйидаги к та кетма-кет келувчи сонларидан бирортаси ҳам туб сон эмас, яъни уларнинг барчаси мураккаб сонлардир. Шу нуқтаи назардан туб сонлар сонининг чексиз кўп эканлигини этиборга олсак қандайдир М ва N (М) натурал сонлари учун (М; N) оралиқда ҳеч бўлмаса бирорта туб сон мавжуд бўлиши керак деган хулосага келамиз. Ана шу М ва N сонларини (М; N) оралиқнинг узунлиги имкон қадар кичик бўладиган қилиб қандай танлаш мумкин деган савол туғилади. Бу саволга биринчи бўлиб 1845-йилда франсуз математиги Ж. Бертран жавоб берган. У ихтиёрий n>1 натурал сон учун

(n; 2n) оралиқда ҳеч бўлмаса битта туб сон мавжуд деган ғояни илгари суради. Бу ғоя кейинчалик Бертран постулати деб аталган. Ж. Бертраннинг ўзи унинг тўғрилигига n нинг n<300000 қийматлари учун текшириб кўриб ишонч ҳосил қилган. Бу постулатнинг ўринли эканлигини 1852-йилда П. Л. Чебишев исботлаган. Анироқ қилиб айтганда у Бертран постулатидан кучлироқ бўлган қуйидаги тасдиқни исботлайди:

1-теорема. Агар n етарлича катта натурал сон ва δ > бўлса, у ҳолда

(n; δn) оралиқда камида битта туб сон мавжуд.

Теоремпнинг исботини кейинги параграфда келтирамиз.Туб сонлар тасимотининг асимптотик қонунидан фойдаланиб ҳар қандай етарлича катта n натурал сони ва етарлича кичик ε>0 сони учун n ва (1+ε) n оралиқда ҳеч бўлмаса битта туб сон мавжуд эканлигини кўрсатиш қийин эмас.

Немис математиги Х. Хейлброн 1933-йилда

1²⁵⁰ , 2²⁵⁰ , 3²⁵⁰ , ... , n ²⁵⁰ , (n +1)²⁵⁰ , ...

кетма-кетликнинг (бирорта n₀ дан бошлаб) иккита қўшни ҳадлари орасида камида битта туб сон мавжудлигини кўрсатган бўлса, 1936-йилда рус математиги Н. Г. Чудаков бу тасдиқдаги кетма-кетликни

билан алмаштириш мумкин эканлигини, 1937-йилда инглиз математиги А. Е. Ингам бу натижани янада аниқлаштириб (1) ни

билан алмаштириш мумкин эканлигини исботлади. А. Е. Ингам кейинчалик хаттоки оралиғидаги туб сонлар сонининг n→∞ да чексизга интилишини кўрсатган. Бу ишлардан кейин бу соҳада ушбу натижа “шундай бир θ , (0<θ<1) сони мавжудки етарлича катта лар учун ва сонлари орасида ҳеч бўлмаса битта туб сон мавжуд”лиги исбот қилинди. Бу ерда нинг мумкин бўлган кичик қийматларини аниқлаш билан кўпчилик математиклар шуғулланишган. 1936 ва 1937-йилларда Н. Г. Чудаков ва А. Е. Ингамлар мос равишда деб олиш мумкин эканлигини кўрсатганлар.

Бу ерда, ушбу гипотеза мавжуд: барча етарлича катта натурал сонлари учун ва сонлари орасида ҳеч бўлмаса битта туб сон бор.

Юқоридаги Н. Г. Чудаков ва А. Е. Ингамлар томонидан олинган натижалар сўнгги йилларда бир неча бор турли давлатларнинг математиклари томонидан яхшиланган бўлишига қарамасдан бу гипотеза ҳозиргача ўз исботини топган эмас.
2-§. n-туб соннинг ўсишини баҳолаш.

Бу параграфда n-туб соннинг ўсишини классик йўллар билан яъни туб сонлар сонининг чексиз кўплигидан ҳамда Чебишев тенгсизлигидан фойдаланиб баҳолашни келтириб ўтамиз.Бу усуллар замонавий усуллар билан олинган натижаларга нисбатан анча соддалиги билан ажралиб туради.

Туб сонлар мавжуд бўлган ва мавжуд бўлмаган оралиқлар ҳақида иккита кетма-кет келувчи туб сонлар орасидаги масофага қараб ҳам хулоса чиқариш мумкин.

Туб сонлар сонининг чексиз кўплиги ҳақидаги Евклид теорeмаси исботидан

()

сонининг (m>n) туб бўлувчига эга эканлиги келиб чиқади. Демак, ва ўринли бўлади.

Энди биз математик индукция методидан фойдаланиб

(2)

тенгсизликнинг ўринли эканлигини исботлаймиз.

, яъни бажарилади. (иккинчи туб сон 4 дан кичик)

Энди Фараз қилайлик

тенгсизликлар ўринли бўлсин. У ҳолда

2 ўринли

бўлганлиги сабабли

га эга бўламиз.

Демак, математик индукция принсипига кўра (2) тенгсизлик барча n натурал сонлари учун ўринли эканлигини топамиз.Бундан эса n+1- туб сони

дан катта эмас деган хулосага келамиз.
Энди n-туб сонни Чебишев тенгсизлигидан фойдаланиб баҳолашни қараб чиқамиз.1852-йилда П. Л. Чебишев “ Туб сонлар ҳақида” номли асарида етарлича катта лар учун

(3)
тенгсизликни исботлади.

(3) Чебишев тенгсизлигидан n- туб сон учун баҳони келтириб чиқариш учун аввало қуйидаги теоремани исботини келтириб ўтамиз.