Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

5-§. Туб сонларнинг арифметик прогрессияси.

Биз ҳозиргача асосан арифметик прогрессиядаги туб сонлар ҳақида фикр юритдик. Лекин ҳадлари туб сонлардан иборат бўлган арифметик прогрессиялар ҳам мавжудми? - деган савол дунё математикларини анча вақтдан бери қизитириб келмоқда. Дастлабки бешта ҳади туб сонларни берувчи арифметик прогрессияга мисол сифатида ни олиш мумкин. Бунда деб олсактуб сонлари ҳосил бўлади. Дастлабки 12 та ҳади туб сонлардан иборат бўлган арифметик прогрессияни В. А. Голубев тузган, унинг дастлабки ҳади 23143 бўлиб, айирмаси 30030 дан иборат экан. Бу соҳада ҳозирги пайтда қуйидаги гипотеза яхши маълум: туб сонлардан тузилган ҳоҳлаганча узун (ҳадлари сони исталганча кўп) арифметик прогрессия мавжуд. Бу гипотеза ҳам узоқ вақт ўз исботини кутиб турган эди. Уни 2005-йилда Б. Грин (Grееn) ва Т. Тао (Тао) ҳал этишди, яъни улар ушбу теоремани исботлашди:

Теорема. Ихтиёрий учун узунлиги (ҳадлари сони) га тенг бўлган туб сонлардан ташкил топган арифметик прогрессия мавжуд.

Шуни ҳам таъкидлаш керакки, бу теорема фақат узунлиги ихтиёрий бўлган, ҳадлари туб бўлган арифметик прогрессиянинг мавжудлиги ҳақида. Бундай арифметик прогрессиялар кўринишини топиш эса жуда қийин масала. 1995-йилда узунлиги 22 бўлган туб сонлар арифметик прогрессиясини

А. Моран (Moran), П. Притчкард (Pritchkard) ва А. Тюссен (Tyssеn) лар топишган. Унинг кўриниши қуйидагича:

Узунлиги 23 бўлган туб сонлар арифметик прогрессиясининг кўриниши

Бу прогрессияни 2004-йил июл ойида М. Фринд (Frind), П. Юндервуд (Undеrwood), П. Жоблинг (Jobling) лар топишди.

Хулоса қилиб айтганда, ҳозирги пайтгача узунлиги 23 дан катта бўлган, туб сонлардан тузилган бирор арифметик прогрессиянинг кўриниши топилмаган. Лекин юқорида келтирилган теоремага кўра бундай арифметик прогрессия мавжуд.
6-§ Махсус туб сонлар ва уларнинг баъзи хоссалари.

1. 
   Дўст ва мукаммал сонлар.
   

Бу параграфда биз дўст ва мукаммал сонлар , жуфт мукаммал сонларнинг ифодаланиши ҳақидаги Евклид теоремаси, Л.Эйлер теоремаси, тоқ мукаммал сонлар, Мерсени туб сонлари, Ферма туб сонлари ҳақидаги маълумотларни ўрганиб чиқамиз.

Берилган сонининг туб кўпатувчиларга ёйилмаси



дан иборат бўлсин. У ҳолда бизга маълумки нинг натурал бўлувчилари сони



бўлувчилари йиғиндиси эса


формулалар билан аниқланади.

натурал сонининг ўзидан бошқа бўлувчиларига унинг хос бўлувчилари дейилади ва уларнинг йиғиндиси га тенг.

Агарда ва сонлари учун ҳар бирининг хос бўлувчилари йиғиндиси иккинчисига тенг бўлса, яъни



бўлса бундай ва сонларига ўзаро дўст сонлар дейилади.

(4) дан агар ва сонлари ўзаро дўст бўлса, у ҳолда



тенгликнинг ўринли эканлиги келиб чиқади. Масалан: бўлсин, у ҳолда бўлгани учун (3) дан



ва



Демак, сонлари дўст сонлар экан.

Агарда сонининг хос бўлувчилари йиғиндиси яъна шу соннинг ўзига тенг, яъни



бўлса, бундай сонига мукаммал сон дейилади.

Бошқача қилиб айтганда агар сони ўзига дўст бўлса, бундай сонига мукаммал сон дейилади. (6.6) дан агар n мукаммал сон бўлса, у ҳолда нинг бажарилиши келиб чиқади.

Масалан: сонлари мукаммал сонлардир, чунки



ва



Дўст ва мукаммал сонлар жуда қадимдан фанга маълум бўлган. Улар ҳақидаги дастлабки маълумотлар Евклиднинг “Бошланичлар” асарида мавжудлиги ҳақида Платон ўз асарида айтиб ўтган.