Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

3-§. сонли функция.

натурал соннинг бўлувчилар сонини ифодаловчи арифметик функция функцияси деб аталади. Агар p туб сон бўлса бўлади. Ҳақиқатдан ҳам натурал соннинг бўлувчилар сонини ифодаловчи функцияни юқоридан баҳолаш масаласини кўриб чиқамиз.Истаган сон учун элементар мулоҳазалар юритиш орқали эканлигини кўрсатиш мумкин. Худди шу сингари истаган сон учун да бўладиган натурал сонлар кетма-кетлиги мавжудлигини исботлаш мумкин.

Бу ерда туб сонлар тақсимотининг асимптотик қонуни ёрдамида қуйидаги тасдиқни исботлаймиз.

Теорема. тенглик ўринли.

Исбот. Агар ва унинг каноник ёйилмаси бўлса, у ҳолда бўлади. Фараз қилайлик бутун сон, биринчи та туб сонлар кўпайтмаси кўринишида аниқланган яъни бўлсин. У ҳолда , бўлиб бундан эса ни хосил киламиз. Энди айтайлик бўлсин, у ҳолда p туб сон ва m натурал сон учун Чебишев функциясининг аниқланишига кўра ва туб сонлар асимптотик қонунига кўра , у ҳолдахудди туб сонлар асимптотик қонуни сингари ҳам туб сонлар асимптотик қонунини ифодалайди. Ҳақиқатдан ҳам . Шунга ўхшаш берилган бутун сонларнинг чексиз тўплами учун бўлганда

(1)

эга бўламиз.

Тескари тенгсизликни исботлаймиз. Берилган бўйича ва тенгсизликларни қаноатлантирувчи шундай ва сонларни олайлик ва бутун сон бўлсин. Ушбу ва белгилашларни киритамиз.

У ҳолда (2) га эга бўламиз, чунки

Агар нинг каноник ёйилмаси бўлса у ҳолда бўлади. кўпайтмадаги ҳар бир кўпайтувчи 1 дан катта эмас, чунки (2) га кўра ва шу сабабли ҳамда барча бутун учун бўлади. Шунинг учун

Энди агар кўпайтмаларни қарасак, у кўпайтувчиларга нисбатан катта эмас, бу ерда туб сонлар тақсимотининг асимптотик қонунига асосан дея оламиз. даги ҳар бир кўпайтувчи дан ката эмас. Сўнгра фиксирланган да ҳақиқий функция максимумга эга, бу ерда -экспонента. Демак, даги ҳар бир кўпайтувчи га нисбатан кичик, шундай экан Шундай қилиб учун (3) бўлади. Шундай қилиб (3) ва (1) тенгсизликлар талаб қилинган тасдиқни исботлайди.