Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

2-§. Эйлернинг сонли функцияси.
XVIII асрнинг буюк математикларидан бири Л.Эйлер (1707-1783) қуйидагича таърифланадиган сонли функция билан шуғулланган, у бу функцияни арифметика масалаларида каттта аҳамиятга эга эканлигини кўрсатди.

1-таъриф. учун 1 га тенг натурал сон учун дан кичик ва у билан ўзаро туб натурал сонлар сонини кўрсатувчи функция Эйлер функцияси дейилади.

Берилган учун ни ҳисоблашда

1,2,3, ..., (1)

сонлар ичидан билан ўзаро туб бўлганларини ажратиб олиш етарлидир.

Масалан:

нинг жуда катта қийматлари учун ни (1) дан фойдаланибҳисоблаш қийин.бунинг учун умумий ҳолда ҳисоблаш учун формулаларни келтириб чиқарамиз.

1. 
   – туб сон. Бу ҳолда 1,2,3, ..., сонларнинг ҳаммаси билан ўзаро туб ; шунинг учун ҳам,
   

бўлади.

2. 
   бўлсин бунда туб сон, натурал сон
   

(2)



(3)

( та ) сонга бўлинади.Демак (2) да га бўлинмайдиган

( билан ўзаро туб бўлган) сонлар сони га тенг.

Шундай қилиб

Мисол.



Энди ни умумий ҳолда ифодалаш учун ушбу сонли функцияни киритамиз. ва , бўлсин.

орқали га бўлинадиган ва билан ўзаро туб бўлган ҳамда тенгнсизликни қаноатлантирувчи барча бутун сонлар сонини белгилаймиз.

, ва 9/36, (4,9)=1. У ҳолда

(4,8,16,20,32 сонларининг сони)

(9, ва 27 сонларининг сони).

ўринли бўлади.

туб сони учун бўлсин.У ҳолда (4) тенглик ўринли бўлади.

чунки тенгликнинг ўнг томони m₁ га бўлиниб, m₂ билан ўзаро туб бўлган сонлар сони ва m₁p га бўлиниб, m₂ билан ўзаро туб бўлган сонлар сони

орасидаги айирмадир.Ўнг томони эса m₁ га бўлиниб, m₂p билан ўзаро туб бўлган сонлар сонини ифодалайди.бу икки мулоҳаза айнан бир хилдир.

Бундан фойдаланиб қуйидаги теоремани исботлаймиз.

Теорема. Агар лар таркибидаги ҳар хил туб сонлар бўлиб, m₁ сони ларнинг ҳеч бирига бўлинмаса, у ҳолда

(5) тенглик ўринли бўлади.

Исбот.Теоремани матератик индукция методикдан фойдаланиб исботлаймиз. r=1 учун ўринли бўлади, чунки (4) га кўра ) ўринли. Энди (5) тенглик учун ўринли бўлсин, деб фараз қиламиз.

тенглик ўринли эканлигини кўрсатамиз (4) га асосан

Демак, тўлиқ математик индукция принципига асосан (5) тенглик исталган n натурал сон учун ўринлидир.

Теоремадан ушбу натижалар келиб чиқади.

1-натижа. бўлгани учун

бўлади.

2-натижа. функция қисқа мултипликатив фуркция, яъни

ўринли бўлади.