Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

3. Тоқ мукаммал сонлар ҳақида. Ҳозиргача тоқ мукаммал сонларнинг мавжуд ёки мавжуд эмас эканлиги исботланмаган, аммо ҳозирча қатъий исботланганки, агар тоқ мукаммал сонлар мавжуд бўлса, улар жуда катта сонлар бўлиб, уларнинг бирортаси ҳам дан кичик бўла олмайди ва улар

кўринишда бўлади. Бу ерда ва улар 2800 тадан кам бўлмаган ҳар хил туб кўпайтувчиларга эга бўлади. Бу натижалар 1925-йилда Н. С. Градштейн томонидан олинган.

4. Мерсенн туб сонлари. Ҳозиргача жуфт мукаммал сонларнинг сони чексиз кўпми ёки улар чекли сондами? – деган савол очиқ қолиб келмода. Чунки кўринишдаги туб сонлар сонининг чексиз эканлиги исботланмаган. Бундай кўринишда сонларнинг туб бўлишлигининг зарурий шарти унинг даража кўрсаткичи к нинг туб бўлишидир.

Ҳақиқатдан ҳам, - мураккаб сон бўлса, у ҳолда ни тривиал бўлмаган (яъни ўзидан ва 1 дан фарқли) кўпайтувчиларга ажратиш мумкин. Улардан бири га тенг бўлади. Лекин бу шарт етарли шарт эмас, яъни туб бўлса, сон барча лар учун туб сон бўлавермайди. Масалан, бўлганда мураккаб сон.

( - туб сон) кўринишдаги туб сонларга Мерсенн (Мерсенн франсуз математиги) туб сонлари деб юритилади.

Л. Эйлергача Мерсенн туб сонлари га мос келувчи 7 мукаммал сон маълум бўлган. Л. Эйлер нинг туб эканлигини кўрсатди. 1883-йилда рус математиги И. М. Первушин (1827-1900) сонининг туб эканлигини исботлади.

Ҳозирги ватда нинг қийматларида туб эканлиги компютерлардан фойдаланиб исботланган.

сонида 3375 та рақам бўлиб, унинг туб эканлиги 1963-йилда исботланган.

Бу исоблашларнинг асосида франсуз математиги Е. Люк томонидан 1878-йилда топилган критерия ётади. У қуйидагидан иборат: , бунда ( туб сон) нинг туб сон бўлиш учун, ушбу рекурент кетма-кетлик



нинг ҳадини га бўлиниши, яъни бўлиши зарур ва етарлидир.