Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

3-теорема. Бутун коэффициентли ҳар қандай

кўпҳад аргументнинг барча натурал қийматларида туб сонларга тенг бўлган қиймат қабул қила олмайди.

Исботи. ва – туб сон бўлсин. У ҳолда ихтиёрий т бутун сони учун Тейлор формуласига асосан



Бундан кўринадики сони п га бўлинади. Шунинг учун ҳам, агар ҳам туб сон бўлса, бўлиши керак барча т∈Z учун. Жумладан т→∞ да ҳам. Бу эса тривиал ҳолда, бошқа ҳолларда кўпҳад модулининг ўсиши ҳақидаги теоремага ( унга кўра т→∞ да бўлиши керак) зиддир. Шундай қилиб, f(х) кўпҳад аргумент х нинг барча қийматларида туб сонга тенг қиймат қабул қила олмас экан. Теорема исбот бўлди.

Бу теорема исботлангандан кейин юқоридаги сингари аргументнинг барча натурал қийматларида фақат ҳар хил туб сонга тенг қиймат қабул қилувчи бутун коэффициентли кўпҳадни излаш беҳуда уриниш эканлиги аён бўлди.

Бу теоремада бутун коэффициентли кўпҳад эканлиги муҳим ҳисобланади. Чунки агар кўпҳад ўрнига ихтиёрий функцияни қарасак аргумент нинг натурал қийматларида фақат туб сонлардан иборат қиймат қабул қилувчи функция мавжуд. Бу борада америкалик математик Миллс 1947-йилда қуйидаги теоремани исботлади.

4-теорема. Шундай ҳақиқий сони мавжудки,

функция нинг барча натурал қийматларида фақат туб сонларга тенг қиймат қабул қилади. Бу ерда [...] қавс ичидаги ифоданинг бутун қисмини билдиради.

1951-йилда Нивен бу натижани умумлаштириб ихтиёрий сони учун шундай ҳақиқий сони мавжудки,

функция нинг барча натурал қийматларида фақат туб сонларга тенг қиймат қабул қилишини исботлади.

Бу натижаларда ҳақиқий сон бўлгани учун берилган ҳар қандай сондан катта туб сонни топиш муаммолигича қолмоқда, чунки ҳақиқий сонининг барча рақамлари маълум эмас.

Инглиз математиги Е. М. Райтнинг ушбу “шундай ҳақиқий сони мавжудки,

лар туб сонлар бўлади, шунингдек поляк математиги В. Серпинскийнинг “шундай