Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

2.2-§. Egri chiziqli soha uchun birinchi chegaraviy
masalaning Grin funksiyasi.

Endi faraz qilaylik, u va funksiyalar mos ravishda (10) va (11) tenglamalarning yechimlari va bo‘lsin. U holda (13) dan quydagi munosabatga ega bo‘lamiz

(2.1)
(17) va (2.1) tengliklarni hadma-had ayirsak
(2.2)
tenglikni olamiz, bu yerda
(2.3)
Agar funksiyani

bo‘ladigan qilib tanlasak, funksiya uchun integral ifoda quydagicha bo‘ladi:
(2.4)
Bu formula (10) tenglamaning sohada
(2.5)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini beradi.
Shuningdek, (2.3) formula bilan aniqlangan funksiya soha uchun (10), (2.5) – brinchi chegaraviy masalaning Grin funksiyasi bo‘ladi.
Endi -Grin funksiyasi haqida batafsil to‘xtalamiz. Bu funksiyani aniqlovchi funksiya quydagi shartlar bilan xarakterlanadi.
1) funksiya sohada aniqlangan va har qanday uchun qo‘shma tenlamani qanoatlantiradi;
2) , ya’ni, ;
3) ; .
Bu shartlardan ko‘rinadiki, funksiya nafaqat , balki (x,t) ga ham bog‘liq, ya’ni . Demak, -Grin funksiyasini qurish uchun 1), 2), 3) xossalarga ega bo‘lgan funksiyani topish kerak ekan. Bu esa yuqorida aytganimizdek (10), (2.5) tipidagi (11) tenglamaga qo‘yilgan maxsus 1), 2), 3) masaladur. Ana shunday xususiyatli funksiyaning yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Bu bilan Grin funksiyasining yagonaligini ko‘rsatgan bo‘lamiz.
Aytaylik, 1), 2), 3) xususiyatli yana bitta funksiya mavjud bo‘lsun. U holda (2.3) ga ko‘ra funksiyaga mos Grin funksiyasi ham mavjud bo‘ladi.
Ma’lumki, xuddi yuqoridagidek, (11) tenglamaning har qanday yechimi uchun (17) ga o‘xshash bo‘lgan
(17’)
va (2.4) ga o‘xshash bo‘lgan
(2.4’)
formulalarni olish mumkin. Bu formulalarni (17) va (2.4) dan ni oldidagi ishorani almashtirish bilan hosil qilish mumkin, chunki ni - ga o‘zgartirilsa, tenglama tenglamaga o‘tadi.
Biror =0 xarakteristika (uni deylik) o‘tkazib, yechim uchun sohada (bu sohada t> > ) (2.4) formulani qo‘llaymiz va , chiziqlar bo‘ylab olingan integrallar 3) shartga ko‘ra nolligidan ushbu tenglikni olamiz :

Xuddi shunday (11) tenglamaning yechimi ucun sohada (2.4’) formulani qo‘lasak va , chiziqlar bo‘yicha integrallarni nolligidan
.
Bu tengliklarning o‘ng taraflari bir xil bo‘lgani uchun Bundan esa ekanligi kelib chiqadi.
Agarda L(u)=f(x,t) bir jinsli bo‘lmagan tanglama qaralsa (2.4)formulaning o‘ng tarafiga

ifodani qo‘shib qo‘yish kifoya.