Mundarija: kirish asosiy qism bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi

Хос кийматлар ва хос функцияларга оид дастлабки
мисоллар
1-masala. kesmada operatorning
(1)
(2)
(3)
(4)
chegaraviy shartlar bo’yicha xos qiymatlari va xos funksiyalarini toping.
Yechilishi. Berilgan operator uchun xos qiymat va unga mos xos vektorlarni aniqlash uchun

operator tenglamani,ya’ni
(5)
tenglamani yechish lozim. Xarakteristik tenglama ildizlarga ega bo’lgani uchun operator tenglamaning umumiy yechimi va uning hosilasi mos ravishda
(6)
(7)
ko’rinishga ega bo’ladi. U holda (1)-(4) chegaraviy shartlarga mos (6) umumiy yechimning va noma’lum koeffisiyentlarni aniqlash uchun ketma ket quyida hosil bo’lgan sistemalarni yechish bilan amalga oshiramiz:

1. 
   (5),(1) Shturm-Liuvill masalasini yechish jarayonida hosil bo’lgan
   

tenglamalar sistemasi aynan noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bu sistema koeffisiyentlaridan tuzilgan determinant

shartni qanoatlantirishi kerak.
Bundan

bo’lgani uchun (5),(1) Shturm-Liuvill masalaning xos qiymatlari:

sonlaridan iborat. Endi bu xos qiymatlarga mos xos funksiyalarni topamiz. Sistemaning birinchi tenglamasi va (6) tenglikdan Eyler formulasiga ko’ra

Ammo xos funksiyalar o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida bo’lgani uchun (5),(1) Shturm-Liuvill masalaning xos funksiyalari:

ko’rinishga ega bo’ladi.
Ortogonalligi.
Normasi.
b) (5),(2) Shturm-Liuvill masalasini yechish jarayonida hosil bo’lgan

tenglamalar sistemasi aynan noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bu sistema koeffisiyentlaridan tuzilgan determinant

shartni qanoatlantirishi kerak.
Bundan

bo’lgani uchun (5),(2) Shturm-Liuvill masalaning xos qiymatlari:

sonlaridan iborat. Endi bu xos qiymatlarga mos xos funksiyalarni topamiz. Sistemaning birinchi tenglamasi va (6) tenglikdan Eyler formulasiga ko’ra

Ammo xos funksiyalar o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida bo’lgani uchun (5),(2) Shturm-Liuvill masalaning xos funksiyalari:

ko’rinishga ega bo’ladi.
c)(5),(3) Shturm-Liuvill masalasini yechish jarayonida hosil bo’lgan

tenglamalar sistemasi aynan noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bu sistema koeffisiyentlaridan tuzilgan determinant

shartni qanoatlantirishi kerak.
Bundan
bo’lgani uchun (5),(3) Shturm-Liuvill masalaning xos qiymatlari:

sonlaridan iborat. Endi bu xos qiymatlarga mos xos funksiyalarni topamiz. Sistemaning birinchi tenglamasi va (6) tenglikdan Eyler formulasiga ko’ra

Ammo xos funksiyalar o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida bo’lgani uchun (5),(2) Shturm-Liuvill masalaning xos funksiyalari:

ko’rinishga ega bo’ladi.

d)(5),(4) Shturm-Liuvill masalasini yechish jarayonida hosil bo’lgan

tenglamalar sistemasi aynan noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bu sistema koeffisiyentlaridan tuzilgan determinant

shartni qanoatlantirishi kerak.
Bundan

bo’lgani uchun (5),(4) Shturm-Liuvill masalaning xos qiymatlari:

sonlaridan iborat. Endi bu xos qiymatlarga mos xos funksiyalarni topamiz. Sistemaning birinchi tenglamasi va (6) tenglikdan Eyler formulasiga ko’ra

Ammo xos funksiyalar o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida bo’lgani uchun (5),(4) Shturm-Liuvill masalaning xos funksiyalari:

ko’rinishga ega bo’ladi.